Вопросы к экзамену по математике
1 семестр,
ФДО, Строители, бакалавры
Тема «Линейная алгебра»
1. Матрицы и их разновидности. Линейные операции над матрицами и их свойства.
2. Умножение матриц. Свойства умножения матриц.
3. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление.
4. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.
5. Свойства определителей.
6. Понятие об определителях n-го порядка.
7. Системы n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными и их решение по формулам Крамера.
8. Обратная матрица. Теорема о единственности. Теорема о существовании (доказать для матриц 2-го порядка).
9. Системы n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными и их решение матричным методом.
10. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований.
11. Системы n-линейных алгебраических уравнений с m неизвестными. Общие понятия. Терема Кронекера – Капели. Теорема о числе решений.
12. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Признаки существования ненулевого решения.
Тема « Векторная алгебра»
1. Векторные и скалярные величины. Определение вектора и его модуля. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.
2. Линейные операции над векторами в геометрической форме. Вывести необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.
3. Проекция вектора на ось, ее основные свойства.
4. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Координаты точки. Стандартные базисы на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису.
5. Обосновать выполнение линейных операций над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов в координатной форме. Вывести правило нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.
6. Вывести формулы деления отрезка в заданном отношении.
7. Определение скалярного произведения векторов. Доказать его свойства.
8. Вывести формулу для нахождения скалярного произведения векторов в координатной форме.
9. Применение скалярного произведения векторов.
10. Определение векторного произведения векторов, его свойства.
11. Вывести формулы для нахождения векторного произведения векторов в координатной форме.
12. Применение скалярного произведения векторов.
13. Определение смешанного произведения векторов. Доказать его основные свойства.
14. Вывести формулу для нахождения смешанного произведения векторов в координатной форме.
15. Применение скалярного произведения векторов.
Тема «Аналитическая геометрия»
1. Прямоугольная декартова система координат. Задачи аналитической геометрии.
2. Полярная система координат. Связь с прямоугольной системой координат.
3. Линия на плоскости (в R2) и ее уравнение в прямоугольной системе координат. Вывести уравнение окружности.
4. Параметрическое задание линии в R2. Параметрическое уравнение окружности.
5. Вывести различные виды уравнений прямой линии на плоскости (с угловым коэффициентом, каноническое, параметрические, общее).
6. Вывести формулы для вычисления угла между прямыми в R2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. (Для всех видов уравнений прямой.)
7. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
8. Эллипс: определение, вывод уравнения, исследование формы, построение. Эксцентриситет.
9. Гипербола: определение, вывод уравнения, исследование формы, построение. Эксцентриситет.
10. Парабола: определение, вывод уравнения, исследование формы, построение.
11. Преобразование прямоугольной системы координат: параллельный перенос, поворот.
12. Поверхность и ее уравнение в R3. Вывести уравнение сферы.
13. Линия и ее уравнение в R3. Параметрические уравнения линии. Винтовая линия.
14. Вывести уравнение плоскости в R3.
15. Вывести формулу для вычисления угла между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности.
16. Вывести формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
17. Вывести канонические и параметрические уравнения прямой в R3.
18. Общие уравнения прямой в R3. Переход от общих уравнений к каноническим и обратно.
19. Вывести формулу для вычисления угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.
20. Вывести формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью вR3. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
Тема «Введение в математический анализ»
1. Понятие числовой последовательности и ее предела.
2. Понятие предела функции непрерывного аргумента. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела.
3. Ограниченные и неограниченные функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел (с доказательством).
4. Теорема о сжатой переменной (с доказательством). Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
5. Первый замечательный предел (с доказательством). Второй замечательный предел.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций (с доказательством).
7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
8. Теорема о связи функции, ее предела и величины бесконечно малой (с доказательством)
9. Теорема о пределе алгебраической суммы, произведения и частного функций (доказать для суммы и произведения).
10. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене эквивалентных бесконечно малых функций (с доказательством).
11. Понятие непрерывности функции. Различные определения непрерывности. Доказать их эквивалентность.
12. Теорема о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного функций (с доказательством).
13. Непрерывность сложной и обратной функции.
14. Теорема о непрерывности элементарных функций.
15. Точки разрыва функции и их классификация.
16. Свойства функций непрерывных на отрезке.
