08-07-02. Сложение и вычитание алгебраических дробей
1. Пример сложения дробей.
Вспомним, что при сложении числовых дробей с одинаковым знаменателем нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же самым. Например, 
.
Алгебраические дроби с одинаковым знаменателем складываются по тому же правилу: нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же самым.
Пример 1. 
.
Разложив на множители числитель получившейся дроби, можно выполнить сокращение:
Таким образом, при 
справедливо равенство
2. Пример вычитания дробей.
Вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем выполняется по правилу, аналогичному правилу сложения: нужно найти разность числителей, а знаменатель оставить тем же самым.
Пример 2.
В этом примере полученное равенство выполняется при всех действительных 
.
3. Общее правило сложения алгебраических дробей
Две числовые дроби 
и 
складываются по правилу:
Это правило соответствует тому, что сначала дроби приводятся к общему знаменателю, а затем складываются как дроби с одинаковым знаменателем.
Аналогично производится сложение и вычитание алгебраических дробей. Например,
4. Нахождение общего знаменателя разложением на множители знаменателей слагаемых.
При сложении и вычитании алгебраических дробей иногда общий знаменатель удобно находить, если у слагаемых разложить знаменатели на множители.
Пример 3. Найдем сумму 
.
Заметим, что 
, 
. Поэтому в качестве общего знаменателя можно взять многочлен 
. Тогда дополнительными множителями у первого слагаемого будет многочлен 
, а у второго слагаемого –многочлен 
. В результате сложение можно произвести так:
5.** Область определения суммы двух дробей.
Как уже говорилось, алгебраические дроби могут быть определены не при всех значениях переменных, Рассматривая дробь 
, определенную на множестве 
, и дробь 
определенную на множестве 
, считают, что сумма этих дробей определяется на общей части множеств 
и 
, то есть на пересечении 
. В этом случае при 
, принадлежащем множеству 
, определены дроби 
, 
, 
и на множестве 
выполняется тождественное равенство
Действительно, пусть 
. Тогда 
, 
, а поэтому числовые дроби 
и 
определены. Складывая эти дроби по правилу сложения дробей, получаем
Контрольные вопросы
1. Как сложить две алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями?
2. Как найти разность двух алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями?
3. Как сложить две алгебраические дроби с разными знаменателями?
4. Как найти разность двух алгебраических дробей с разными знаменателями?
5. Как может измениться область определения алгебраической дроби при сокращении этой дроби?
6. Как может измениться область определения алгебраической дроби при домножении числителя и знаменателя на один и тот же многочлен?
7. Докажите, что правила сложения и вычитания алгебраических дробей приводят к тождественному равенству на пересечении областей определения этих дробей.
Задачи и упражнения
1. Выполните действия:
1) 
2) ; 
3) ; 
;
4) 
5) ; 
6) ; 
;
7) 
8) ; 
;
9) 
10) ; 
;
11) 
12) ; 
13) ; 
;
14) 
;
15) 
16) ; 
17) ; 
;
18) 
19) ; 
;
20) 
21) ; 
;
22) 
.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Нет.
