Программа учебной дисциплины «Современные численные методы» (стр. 4 )

Соответствие баллов и оценок

Баллы БРС	Традиционные оценки РФ	Оценки ECTS
95 – 100	Отлично – 5	A (5+)
86 – 94	B (5)
69 – 85	Хорошо – 4	C (4)
61 – 68	Удовлетворительно – 3	D (3+)
51 – 60	E (3)
31 – 50	Неудовлетворительно – 2	FX (2+)
0 – 30	F (2)
51 - 100	Зачет	Passed

Вопросы для самопроверки и обсуждений по темам

Тема 1. Дискретизация математических объектов

Табулирование функций Дискретизация компактных множеств Погрешность приближенных вычислений

Тема 2.  Понятие машинной арифметики

Машинное эпсилон. Различные типы данных. Представление действительных чисел в машинных типах данных.

Тема 3. Эффективно вычислимые объекты

Уточнение понятия алгоритма. Понятия перечислимого и вычислимого множеств. Конструктивные объекты. Понятие вычислимого действительного числа. Конструктивная функция

Тема 4. Алгебраическая интерполяция

Существование и единственность интерполяционного многочлена. Кусочно-многочленная интерполяция сплайнами. Свойства сплайнов. Интерполяция функций многих переменных.

Тема 5. Тригонометрическая интерполяция

Интерполяция периодических функций. Тригонометрическая интерполяция функций на отрезке. Связь между алгебраической и тригонометрической интерполяцией.

Тема 6. Вычисление определенных интегралов

Квадратурные формулы трапеций и Симпсона. Численные и аналитические методы вычисления интегралов. Вычисление несобственных интегралов. Кратные интегралы.

Тема 7. Системы линейных алгебраических уравнений

Нормы векторов и матриц. Обусловленность СЛАУ. Метод исключения Гаусса. QR-разложения. Разложение матриц.

Тема 8. Итерационные методы решения СЛАУ

Метод простых итераций. Итерационный процесс Зейделя. Условия и скорость сходимости.

Тема 9. Численное решение нелинейных уравнений и систем

Существование и единственность решений. Методы итераций. Метод линеаризации Ньютона.

Тема 10. Численное решение задачи Коши

Постановка задачи Коши. Методы Эйлера. Схемы Рунге-Кутта. Сходимость и устойчивость численных алгоритмов. Примеры решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Тема 11. Краевые задачи

Разностные схемы. Устойчивость разностных схем. Метод конечных разностей для дискретизации краевых задач. Методы прогонки.

Тема 12. Эволюционные уравнения в частных производных

Типы уравнений в частных производных. Уравнение переноса. Уравнение нелинейного переноса.

Тема 13. Численное решение эллиптических уравнений

Разностные схемы для численного решения уравнений в частных производных. Дискретизация уравнений эллиптического типа. Метод Ритца.

Тема 14. Численное решение параболических уравнений

Постановка начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Разностные методы решения параболических уравнений.

Задания для самостоятельной работы по темам

Тема 1. Дискретизация математических объектов

Привести примеры дискретизации основных математических объектов Оценить точность дискретизации различных математических объектов

Тема 2.  Понятие машинной арифметики

Построить программу для вычисления машинного эпсилон Сравнить машинные эпсилон для разных машин

Тема 3. Эффективно вычислимые объекты

Сравнить различные определения алгоритмов Привести примеры конструктивных действительных чисел

Тема 4. Алгебраическая интерполяция

Сравнить свойства полиномиальной интерполяции с интерполяцией сплайнами Построит сплайн-интерполяцию для элементарных функций

Тема 5. Тригонометрическая интерполяция

Разработать программу для быстрого преобразования Фурье Показать связь между гладкостью функции и скоростью убывания коэффициентов Фурье

Тема 6. Вычисление определенных интегралов

Составить программу для численного вычисления значений определенных интегралов Провести вычисления определенных интегралов и сравнить с точными значениями

Тема 7. Системы линейных алгебраических уравнений

Привести примеры хорошо обусловленных матриц Привести примеры плохо обусловленных матриц

Тема 8. Итерационные методы решения СЛАУ

Составить программу для нахождения решений СЛАУ итерационными методами Исследовать скорость сходимости итерационных методов

Тема 9. Численное решение нелинейных уравнений и систем

Составить программу нахождения корней функциональных уравнений Исследовать точность метода Ньютона

Тема 10. Численное решение задачи Коши

Составить программу численного решения задачи Коши методом Эйлера Составить программу численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутта. Сравнить точность метода Эйлера и метода Рунге-Кутта

Тема 11. Краевые задачи

Привести примеры разностных схемы Исследовать устойчивость разностных схем

Тема 12. Эволюционные уравнения в частных производных

Привести примеры различных эволюционных уравнений в частных производных Исследовать свойства решения уравнения переноса

Тема 13. Численное решение эллиптических уравнений

Построить разностные схемы для различных областей Сравнить достоинства и недостатки метода Ритцы и разностных методов

Тема 14. Численное решение параболических уравнений

Составить программу численного решения уравнения теплопроводности Исследовать свойства решений параболических уравнений

Перечень рефератов и/или курсовых работ по темам

Тема 1. Дискретизация математических объектов

Дискретизация компактных множеств и ее применение в вычислительной математике

Тема 2.  Понятие машинной арифметики

Отличие машинной арифметики от обычной арифметики

Тема 3. Эффективно вычислимые объекты

Примеры вычислимых и невычислимых объектов Конструктивные объекты и вычислительная математика

Тема 4. Алгебраическая интерполяция

Применение сплайн-интерполяции для решения инженерных задач

Тема 5. Тригонометрическая интерполяция

Связь тригонометрической интерполяции с аналитическими функциями

Тема 6. Вычисление определенных интегралов

Использование кубатурных формул для решения задач математической физики

Тема 7. Системы линейных алгебраических уравнений

Исследование корректности задач, приводящих к плохо обусловленным матрицам

Тема 8. Итерационные методы решения СЛАУ

Использование итерационных методов для решения некорректных задач линейной алгебры

Тема 9. Численное решение нелинейных уравнений и систем

Численное решение нелинейных систем в связи м задачами оптимизации

Тема 10. Численное решение задачи Коши

Численные методы для решения нелинейных систем дифференциальных уравнений Численное исследование детерминированного хаоса

Тема 11. Краевые задачи

Разностные схемы и устойчивость вычислительного процесса

Тема 12. Эволюционные уравнения в частных производных

Применение эволюционных уравнений в математической физики Уравнение Шредингера и его физический смысл

Тема 13. Численное решение эллиптических уравнений

Экономические задачи, приводящие к эллиптическим уравнения Вариационные методы решения эллиптических уравнений

Тема 14. Численное решение параболических уравнений

Инженерные применения параболических уравнений

Тестовые задания

I. Выбор правильного ответа

1. Дискретизация математических объектов это:

А Конечномерная аппроксимация

Б Приближение конечными объектами

2. Машинная арифметика:

А Совпадает с обычной

Б Имеет отличия от обычной арифметики

3. Алгоритм может:

А Работать только с конечными объектами

Б Работать с любыми объектами

4. Интерполяция позволяет:

А Получить значения функции вне интервала

Б Вычислить значения внутри интервала

5. Плохая обусловленность СЛАУ означает:

А Невозможность вычисления решения

Б Сложности с устойчивостью при решении

6. Итерационные методы решения СЛАУ:

А Позволяют находить приближенные решения

Б Позволяют находить точное решение

7. Метод Ньютона нахождения приближенных решений :

А Требует существования двух производных

Б Требует существования одной производной

В Не требует существования производных

8. Какой метод более точный:

А Метод Рунге-Кутты

Б Метод Эйлера

9. Какое уравнение является эволюционным:

А Уравнение Лапласа

Б Уравнение теплопроводности

10. Какое уравнение является параболическим:

А Волновое уравнение

Б Уравнение теплопроводности

Тренинговые задания

1. Привести примеры различия между машинной арифметикой и обычной арифметикой. На примерах показать особенности машинной арифметики.

2. Рассмотреть различные элементарные функции в качестве функциональных уравнений. Применить к ним различные методы нахождения решений. Построить графики.

3. Привести примеры плохо обусловленных матриц. Формально применить к ним различные методы решения. Сравнить результаты. Проанализировать влияние плохой обусловленности.

4. Рассмотреть нелинейное дифференциальное уравнение Ван-дер-Поля. С помощью численных методов найти предельный цикл. Построить графики.

5. Построить разностную схему для решения уравнения Лаплпса в круге. Применить полярные координаты – сравнить результаты.

Вопросы к рубежной аттестации

Назовите основные характеристики понятия алгоритм. Перечислите основные методы численного нахождения решений СЛАУ. Перечислите основные методы для нахождения решений задачи Коши для ОДУ. Назовите особенности дифференциальных уравнений в частных производных для вычислительной математики. Перечислите методы для приближенного решения уравнений в частных производных.

Разработчик:

д. ф.-м. н.