Программа учебной дисциплины «Современные численные методы» (стр. 1 )

Утверждён на заседании кафедры

«____»_________________20____г.

Протокол № _______

Зав. кафедрой__________________

Институт прикладных технико-экономических исследований и экспертиз

Базовая кафедра «Математическое моделирование в космических системах»

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

«Современные численные методы»

Направление подготовки: 02.04.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»

Специализации: «Математическое моделирование в космических исследованиях»

Квалификация (степень) выпускника: Магистр

Москва-2014

1. Цели и задачи освоения дисциплины

Основными целями освоения дисциплины «Современные численные методы» являются обучение современным методам вычислительной математике, ознакомление с основными алгоритмами вычислительной математики

Основными задачами курса являются:

ознакомить студентов с базовыми принципами численных методов; ознакомить студентов с современным состоянием вычислительной математике; дать основы построения численных методов и алгоритмов; ознакомить студентов с современной теорией приближенных вычислений; ознакомить с современными численными алгоритмами в линейной алгебре, нелинейных уравнений, дифференциальных уравнений, оптимизации; ознакомить с современными подходами программирования численных методов.

2. Место дисциплины в структуре магистерской программы

Дисциплина «Современные численные методы» для направления подготовки 02.04.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» относится к вариативной части  и базируется на использовании магистрами знаний, полученных ими при изучении таких дисциплин как «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Теория вероятности и математическая статистика», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Математическая физика», «Математическое моделирование», «Теория случайных процессов», «Алгоритмические языки программирования».

Для успешного освоения данной дисциплины студент должен иметь представление о современном состоянии математики и владеть методами классической математики, а также иметь навыки программирования на алгоритмических языках программирования. 

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

Выпускник по направлению подготовки 02.04.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» с квалификацией (степенью) «магистр» должен обладать следующими компетенциями:

а) общекультурными (ОК)

способностью к абстрактному мышлению, анализу, синтезу (ОК-1); готовностью действовать в нестандартных ситуациях, нести социальную и этическую ответственность за принятые решения (ОК-2); готовностью к саморазвитию, самореализации, использованию творческого потенциала (ОК-3).

б) общепрофессиональными (ОПК)

готовностью к коммуникации в устной и письменной формах на русском и иностранном языках для решения задач профессиональной деятельности (ОПК-1); готовностью руководить коллективом в сфере своей профессиональной деятельности, толерантно воспринимая социальные, этнические, конфессиональные и культурные различия (ОПК-2); способностью использовать и применять углубленные теоретические и практические знания в области фундаментальной информатики и информационных технологий (ОПК-3); способностью самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, в том числе, в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности, расширять и углублять своё научное мировоззрение (ОПК-4); способностью использовать углублённые знания правовых и этических норм при оценке последствий своей профессиональной деятельности, при разработке и осуществлении социально значимых проектов (ОПК-5).

в) профессиональными (ПК)

способностью проводить научные исследования и получать новые научные и прикладные результаты самостоятельно и в составе научного коллектива (ПК-1); способностью использовать углубленные теоретические и практические знания в области информационных технологий и прикладной математики, фундаментальных концепций и системных методологий, международных и профессиональных стандартов в области информационных технологий (ПК-2); способностью разрабатывать концептуальные и теоретические модели решаемых научных проблем и задач проектной и производственно-технологической деятельности (ПК-3); способностью разрабатывать архитектурные и функциональные спецификации создаваемых систем и средств, а также разрабатывать абстрактные методы их тестирования (ПК-4); способностью управлять проектами, планировать научно-исследовательскую деятельность, анализировать риски, управлять командой проекта (ПК-5); способностью к углубленному анализу проблем, постановке и обоснованию задач научной и проектно-технологической деятельности (ПК-6);

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать:

-        современное состояние вычислительных методов;

-        основные численные методы аппроксимации функций;

-        основные численные методы анализа;

-        основные численные методы численного интегрирования и дифференцирования;

-        основные численные методы линейной алгебры;

-        основные методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

-        основные методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Уметь:

-        выявлять перспективные направления в области численного решения математических проблем;

-        использовать стандартные численные методы для решения основных математических задач;

-        использовать основные численные методы для построения вычислительных экспериментов.

Владеть:

-        навыками численного решения различных математических задач;

-        навыками самостоятельного проектирования вычислительных экспериментов;

-        навыками  работы с оригинальными научными публикациями в области вычислительной математики.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2	3	4
1.	Аудиторные занятия (всего)	36	36
В том числе:	-	-
1.1.	Лекции	18	18
1.2.	Прочие занятия	18	18
В том числе:
1.2.1.	Семинары (С)
Практические занятия (ПЗ)	18	18
Из них в интерактивной форме (ИФ)	12	12
2.	Самостоятельная работа (всего)	72	72
В том числе:
2.1.	Расчетно-графические работы	50	50
2.2.	Курсовая работа	0	0
Другие виды самостоятельной работы	24	24
Подготовка и прохождение промежуточной аттестации
3.	Общая трудоемкость (акад. часов)	108	108
Общая трудоемкость (зачетных единиц)	3	3

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

Раздел 1. Основы приближенных вычислений

Тема 1. Дискретизация математических объектов

Табулирование функций. Дискретизация компактных множеств. Погрешность приближенных вычислений.

Тема 2.  Понятие машинной арифметики

Машинное эпсилон. Различные типы данных. Представление действительных чисел в машинных типах данных.

Тема 3. Эффективно вычислимые объекты

Уточнение понятия алгоритма. Понятия перечислимого и вычислимого множеств. Конструктивные объекты. Понятие вычислимого действительного числа. Конструктивная функция

Раздел 2. Интерполяция функций и квадратуры

Тема 4. Алгебраическая интерполяция

Существование и единственность интерполяционного многочлена. Кусочно-многочленная интерполяция сплайнами. Свойства сплайнов. Интерполяция функций многих переменных.

Тема 5. Тригонометрическая интерполяция

Интерполяция периодических функций. Тригонометрическая интерполяция функций на отрезке. Связь между алгебраической и тригонометрической интерполяцией.

Тема 6. Вычисление определенных интегралов

Квадратурные формулы трапеций и Симпсона. Численные и аналитические методы вычисления интегралов. Вычисление несобственных интегралов. Кратные интегралы.

Раздел 3. Системы скалярных уравнений

Тема 7. Системы линейных алгебраических уравнений

Нормы векторов и матриц. Обусловленность СЛАУ. Метод исключения Гаусса. QR-разложения. Разложение матриц.

Тема 8. Итерационные методы решения СЛАУ

Метод простых итераций. Итерационный процесс Зейделя. Условия и скорость сходимости.

Тема 9. Численное решение нелинейных уравнений и систем

Существование и единственность решений. Методы итераций. Метод линеаризации Ньютона.

Раздел 4. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Тема 10. Численное решение задачи Коши

Постановка задачи Коши. Методы Эйлера. Схемы Рунге-Кутта. Сходимость и устойчивость численных алгоритмов. Примеры решения нелинейных дифференциальных уравнений.