Вопросы по линейной алгебре для экономистов.
Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Косоугольные системы координат. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве. Деление отрезка в заданном отношении. Полярная система координат. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно. Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в отрезках на осях. Общее уравнение прямой на плоскости. Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса и его свойства. Парабола. Каноническое уравнение параболы и его свойства. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы и его свойства. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как алгебраические линии второго порядка и как сечения конуса. Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство геометрических векторов, коллинеарность и компланарность). Координатные орты. Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора и его запись с помощью знака суммы. Знак суммирования и его свойства. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве. Действия с геометрическими векторами в координатной форме. Признак коллинеарности векторов. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами. Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов. Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Общее уравнение плоскости в пространстве. Решение неравенств на плоскости. Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические примеры. Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки». Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель произвольного порядка. Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Транспонирование и его свойства. Система линейных уравнений и её решение. Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений. Однородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная система. Матричная запись системы линейных уравнений. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений. Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений. Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера. Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство. Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве. Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис линейного пространства. Примеры. Теорема о разложении вектора по базису. Линейная оболочка векторов. Векторное представление системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений. Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений. Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rn. Евклидовое пространство. Нормируемое пространство. Ортогональное дополнение и его свойства. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение. Линейная балансовая модель. Модель международной торговли. Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора. Взаимно однозначные отображения. Матричное представление линейного оператора. Комплексные числа. Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма. Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичной формы.Примерные задачи на экзамене в группах Э1713 – 1716:
Исследовать и решить систему при разных параметрах л:
Найти базис линейной оболочки, образованной векторами системы 
, если:
Разложить произвольный вектор системы S, не входящий в базис, по найденному базису.
Дана квадратичная форма:a(x, x)=2x12 +3 x1x2-4 x1,x3 +2 x3x2+12 x22 +8 x32
Найти матрицу квадратичной формы. Выяснить, является ли эта квадратичная форма знакоопределённой.
Известна таблица межотраслевых потоков:№ отрасли | Потребление | Конечный продукт | |
I | II | ||
1. | 20 | 50 | 30 |
2. | 30 | 10 | 10 |
Требуется найти валовый вектор продукции, полные затраты труда и капиталовложений, если задан вектор-план y = (200, 100).
Дана матрица обмена в простой модели обмена:
. Найти равновесный вектор цен. Линейный оператор A: V → V преобразует базисные векторы {e1, e2, e3} пространства V по следующему правилу: A e1 = 2 e1 – 3 e2 + 7 e3, A e2 = 4 e1 – 2 e2 – 7 e3, A e3 = 8 e1 – 8 e2 + 7 e3. Найти ядро этого оператора и его образ.
