Тренировочные задания
по теме: «Квадратные неравенства»
для проведения учебных занятий
по подготовке учащихся к ГИА (алгебра).
При выполнении заданий первой части учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний и широту представлений. Содержание этой части не ограничивается проверкой владения основными алгоритмами. Значительный акцент в ней делается на идейно-понятийной и практической составляющей.
По теме «Квадратные неравенства» к учащимся предъявляются следующие требования:
Знать:
- общий вид квадратного неравенства;
- алгоритм решения квадратных неравенств;
- формулы для нахождения корней квадратного уравнения.
Уметь:
- решать квадратные неравенства по алгоритму;
- решать квадратные неравенства с опорой на готовый график;
- понимать геометрическую и алгебраическую трактовку отношений «больше» и «меньше».
Теория | Образец решения | Решить по образцу | Решить самостоятельно |
Общий вид квадратных неравенств ах 2+ вх +с> 0 (<0,≤0,≥0). Алгоритм решения квадратных неравенств: вводим соответствующую функцию у= ах 2+ вх +с. определяем направление ветвей параболы у= ах 2+ вх +с (при а >0 ветви параболы направлены вверх; при а <0 ветви параболы направлены вниз). находим нули функции, т. е. решаем уравнение ах 2+ вх +с = 0. Применяем формулы: D = b2 – 4ac; х1,2 = - b ± √D 2a если уравнение имеет корни, то отмечаем корни на координатной прямой и схематически рисуем параболу в соответствии с направлением ветвей. находим решение неравенства с учетом смысла знака неравенства. | Частные случаи: 1. D> 0 Решите неравенство: х2 + х - 6<0 Решение: 1)пусть у= х2 + х – 6 2) т. к. а=1, то ветви параболы направлены вверх 3) решим уравнение х2 - х – 6=0 а=1, в= -1, с= - 6 D = b2 – 4ac = (-1)2 – 4·1· (-6)=1+24=25 х1,2 = - b ± √D 2a Х1,2 = -(-1)±√25 2∙1 х1 = - 2; х2 = 3 4) отметим числа 2 и – 3 на координатной прямой и построим эскиз графика функции
5) т. к. знак неравенства(<), то решением его будет интервал (-2;3)
Ответ: (-2;3) 2. D=0 Решите неравенство: 4х2 +4 х + 1>0, Решение: Пусть y=4х2 +4 х + 1 а=4 >0, значит, ветви параболы направлены вверх Решим уравнение 4х2 +4 х + 1=0 а=4, в= 4, с= 1 D = b2 – 4ac = 42 – 4·4·1= =16-16=0 х1,2 = - b 2a Х1,2 = -4 2∙4 х1 = х2 = -0,5. Парабола касается оси абсцисс. 4) -0,5 5) Так как знак неравенства (>), то решением являются все числа, кроме х = -0,5 Ответ: (-∞;-0,5) или (-0,5;+∞) Замечание: а) Решением неравенства 4х2 +4 х + 1≥0, является промежуток ( -∞, +∞). б) Решением неравенства 4х2 +4 х + 1≤0, является только число -0,5. в) Неравенство 4х2 +4 х + 1<0 решения не имеет. 3. D<0 Решите неравенство: -х2 -6 х - 10<0, Решение: Пусть y=-х2 -6 х – 10 а=-1 <0, значит, ветви параболы направлены вниз 3) Решим уравнение -х2 -6 х – 10=0 а=-1, в= -6, с= - 10 D = b2 – 4ac = (-6)2 – 4· (-1)·(-10)=36-40=-4 D<0, уравнение решений не имеет. Парабола не пересекает ось абсцисс. 4)
Так как знак неравенства (<), то решением его являются все числа. Ответ: (-∞, +∞) Замечание: неравенство -х2 -6 х – 10>0 решения не имеет. | 1. Решите неравенство: х2 + 3х -4<0 Решение: 1)пусть у= х2 + 3х –4 2)т. к. а=1, то ветви параболы направлены вверх 3) решим уравнение х2 - х – 6=0 Решите неравенство: х2 +4 х + 4>0 Решение: Пусть y= х2 +4 х + 4 а=1 >0, значит, ветви параболы направлены вверх Решим уравнение 4х2 +4 х + 1=0 3. Решите неравенство: -3х2 +7х - 9<0, Решение: 1)Пусть y=-3х2 +7х – 9 2) а=-3 <0, значит, ветви параболы направлены вниз 3) Решим уравнение -3х2 +7х - 9=0 | Решите неравенства: 1.3х2 +5 х - 2<0 2.-4х2 +3 х -1>0 3. -3х2 +8 х+3≥0 4. х2 -10 х + 25<0 5. х2 -10 х+ 26<0 6.2х2 - х - 6≤0 7. 2х2 +7 х +3≥0 8. 5х2 -3 х - 14<0 9. 5х2 -4 х +1<0 10. 5х2 +3 х + 2≤0 |
