ў
Экзаменационные вопросы по алгебре ФЕМиКН,
I курс, I семестр, 2015/2016 уч. г.
Понятие n-мерного арифметического векторного пространства. Линейно зависимые, независимые системы векторов, свойства Ступенчатая система векторов, ее линейная независимость Умножение матриц, свойства умножения Транспонирование матриц, свойства транспонирования Ранг матрицы. Теорема о равенство строчечного и столбцового рангов матрицы Квадратные матрицы. Единичная матрица, ее свойства Обратимые квадратные матрицы, свойства. Критерий обратимости квадратной матрицы Элементарные матрицы, их свойства Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований Системы линейных уравнений (СЛУ). Матричная запись СЛУ. Критерий совместности СЛУ Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений (СЛУ). Решение СЛУ методом Гаусса Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ). Размерность и базис, фундаментальная система решений ОСЛУ Подстановки n-й степени, запись. Умножение подстановок, умножение подстановки на транспозицию Знак подстановки n-й степени, вычисление знака подстановки Понятие определителя квадратной матрицы, свойства определителей. Определитель произведения матриц Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Разложение определителя по элементам строки (столбца) Ассоциированная матрица данной квадратной матрицы, ее свойства. Вычисление обратной матрицы с помощью определителей Решение определенных систем n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера Теорема о ранге матрицы как наивысшем порядке ее ненулевых миноров Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров
Указания:
Знать определения, понимать, владеть базовыми понятиями:
- числовое поле;
- арифметическое векторное пространство;
- линейная комбинация системы векторов;
- базис и размерность арифметического векторного пространства;
- матричная форма линейной комбинации системы векторов;
- линейная оболочка системы векторов;
- строчечное и столбцовое пространства матрицы;
- связь строчечного и столбцового пространств произведения матриц
с соответствующими пространствами матриц-сомножителей;
- скалярное произведение арифметических векторов; единичные
векторы, их свойства при скалярном умножении;
- базис и размерность арифметического векторного пространства;
- строчечный и столбцовый ранги матрицы;
- совместные, несовместные, определенный системы линейных уравнений (СЛУ);
- эквивалентные СЛУ, эквивалентные преобразования СЛУ;
- подстановки n-й степени, полная и каноническая записи n-подстановок;
- характеры, вес, знак подстановки;
- молния n-матрицы, заряд молнии, определитель n-матрицы;
- миноры и алгебраические дополнения элементов n-матрицы, их зависимость от «адреса» элемента и независимость от «адресата».
