Материал для дистанционного обучения по теме: «Векторная алгебра»

СПб ГОУ СПО «КОР №1»

Материал для дистанционного обучения по теме:

«В Е К Т О Р Н А Я  А Л Г Е Б Р А»

  Учитель:

Санкт-Петербург

2013-2014 уч. год

В Е К Т О Р Н А Я  А Л Г Е Б Р А

Определение: Векторной величиной называется величина, которая геометрически представляется направленным отрезком, т. е. отрезком имеющим длину и направление. Обозначается вектор:.

  За длину вектора принимается длина соответствующего отрезка. Длина вектора обозначается .Вектор, имеющий длину, равную единице (=1) называется единичным вектором. Любая точка пространства рассматривается как вектор, имеющий нулевую длину и произвольное направление, и назывется нулевым вектором.

  Два вектора называются равными, если: а) они имеют одинаковую длину; б) параллельны и направлены в одну сторону. Вектора называются коллинеарными, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых, при этом если они направлены в одну сторону, то это сонаправленные вектора, если в противоположные, то противоположно направленные вектора, Два вектора, имеющие одинаковую длину и противоположное направление называются противоположными.

  Типы векторов:

1. Свободный вектор – вектор, который может быть перемещен в любую точку пространства.

2. Скользящий вектор – вектор, который можно перемещать только вдоль линии, на которой он расположен.

3. Связанный вектор – вектор, который характеризует векторную величину только в данной точке.

  Действия над векторами:

1.Умножение вектора на число:

Результатом умножения вектора на число является вектор  длина которого в к раз больше длины вектора , а направления совпадают, если к>0, и противоположны, если к<0.

Для любых векторови  , и любых чисел справедливы следующие равенства:

  -  сочетательный закон;

  -  первый распределительный закон;

  -  второй распределительный закон.

Отметим, что вектор является вектором противоположным вектору .

Лемма: если векторы иколлинеарны и , то существует число такое, что .

Сложение векторов:

  Суммой векторов и называется вектор   равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах  и :

Это правило получило название правила параллелограмма.

Два вектора, если они не выходят из одной точки можно сложить по правилу треугольника: вектора должны быть расположены так, чтобы начало второго вектора совпадало с концом первого, тогда суммарный вектор равен вектору, проведенному из начала первого вектора в конец  второго.

При сложении трех и более векторов действует правило многоугольника: векторы располагаются цепочкой, т. е. соединяется конец предыдущего и начало следующего вектора; суммой таких векторов является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего.

Вычитание векторов:

Разностью  векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором  равна вектору . Разность векторов и можно найти по формуле : =+(-), где (-) вектор, противоположный вектору  .

Правило вычитания векторов:  для нахождения вектора  равного разности векторов надо соединить концы этих векторов и конец результирующего вектора должен совпадать с концом уменьшаемого вектора.

Законы сложения:

переместительный закон;

  -  сочетательный закон.

КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ.

Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной точки они будут лежать в одной плоскости.

Свойства компланарных векторов:

1. Два вектора всегда компланарны.

2.Два вектора,  вместе с их суммарным вектором или с вектором равным разности этих векторов, образуют тройку компланарных векторов.

3. Три вектора, два из которых коллинеарны, образуют тройку коллинеарных векторов.

Признак компланарности векторов: если вектор можно представить в виде , где и - некоторые числа, то векторы , и  компланарны.

  Для сложения трех некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда: сумма трех некомпланарных векторов равна диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах.

ТЕОРЕМА.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

. Числа называются коэффициентами разложения. Вектора  , и  некомпланарны.

Разложение вектора по осям координат.

Пусть задан вектор в прямоугольной системе координат Оxyz.

Тогда :,,- проекции вектора  на оси координат.

= ⋅;  =; =⋅

=++

=⋅++⋅

Определение. Коэффициенты в разложении произвольного вектора по единичным координатным векторам называются координатами вектора. Следовательно, векторимеет координаты {;;}.  Действия с векторами, заданными координатами.

1. Умножение вектора на число.

При умножении векторана число к каждая координата вектора умножается на число к:

=

При этом координаты вектора имеют вид: {;;}=

={k⋅, k⋅, k⋅ }.

2.Сложение (вычитание) векторов.

При сложении векторов в координатной форме справедливо следующее правило: Каждая координата вектора равного суммы(разности) двух векторов равна сумме(разности) соответствующих координат этих векторов.

Аналогично для п-векторов.

=+

{+;+;+}

3. Скалярное произведение векторов.

Нетрудно показать, что  ⋅+⋅+⋅=⋅(1)

где , , - проекции вектора на оси координат; или, что то - же самое, координаты вектора ;

,, - проекции вектора на оси координат, или координаты вектора .

(1) – формула скалярного произведения векторов, заданных координатами  этих векторов.

4.Векторное произведение векторов.

Выведем формулу векторного произведения в координатной форме.

Пусть = ⋅++⋅;  =⋅++⋅.

Составим векторное произведение:

=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

но  =0; =0; =0,  т. к. координатные векторы взаимно перпендикулярны.

Вектор  =, т. к. площадь параллелограмма, построенного на этих векторах равна площади единичного квадрата и поворот с конца вектора  виден от  к  против часовой стрелки.  Вектор  и вектор имеют одинаковую длину и направление, следовательно, они равны.

Тогда получаем:

=⋅(⋅-⋅) - (⋅-⋅)+(⋅-⋅)

или в матричной форме:

=.

Задачи по теме:

Вариант 1.

1.Даны векторы и. Найдите и.

2.В треугольнике АВС ВМ – медиана, А(-1;2;2), В(2;-2;-6), М(1;1;-1). Найдите 1) координаты точки С, 2)найдите длину стороны ВС,3) разложите вектор по координатным векторам.

3. Ребра правильного тетраэдра DABC равны a, К – середина ВС. Найдите 1)

2).

4. В кубе точка М – центр грани . Какой угол острый, тупой или прямой, между векторами и?

Вариант 2

Даны векторы и. Найдите длину вектора . Докажите, что векторы иколлинеарны. Вычислите угол между векторами иесли даны координаты точек А(1;3;0), В(2;3;-1) и С(1;2;0). Найдите значение k при котором векторы  и перпендикулярны.

Вариант 3.

1.Даны векторы , и . Вычислите длину вектора .

2.Даны точки Р(-2;5;-1) и Н(4;1;1). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка РН.

3.Даны векторы и. При каком значении x векторы взаимно перпендикулярны?

4. Вычислите угол между прямыми АВ и РН, если точки имеют координаты А(2;-2;0), В(-1;-1;1), Р(2;-3;1),Н(3;-2;2).

Вариант 4.

1.Лежат ли точки А(2;3;1), В(3;-1;2), С(4,-5;3) на одной прямой.

2.Найдите длину вектора , если , а

3.Найдите скалярное произведение векторов и, если , .

4.Перпендикурны ли прямые MN  иCK, если M(-8;-5;3),N(-15;0;-1),

C(4;-1;0), K(-7;5;-4).Если не перпендикулярны вычислите угол между ними.

Вариант 5.

1.Выясните коллинеарны ли следующие векторы .

2.Найдите длину медианы треугольника АВС, если вершины треугольника имеют следующие координаты .

3.Найдите  значениех, при котором векторы взаимно перпендикулярны.

4.  В кубе точка М – центр грани . Какой угол острый, тупой или прямой, между векторами и?

Вариант 6.

1.Даны векторы .Найдите .

2.В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О,

A(1;3;-1),B(-2;1;0),О(0;1,5).Найдите координаты вершин C и D. Найдите длину стороны ВС.

3.В прямоугольном параллелепипедеAB=BC=2. Найдите косинус угламежду прямыми ACи .

4..Найдите значение выражения .

Вариант 7.

1. В треугольнике АВС А(0;0;0), В(1;2;1), С(1;-1;1). Найдите координаты центра  описанной около треугольника окружности и ее радиус.

2.Вектор сонаправлен с вектором . Найдите координаты вектора , если .

3. Точки А(1;1;5), В(4;7;5), С(8;5;5), D(5;-1;5) являются вершинами прямоугольника АВСD. Найдите больший угол между диагоналями прямоугольника.

4. Даны векторы:.Найдите .

Вариант 8.

В пространстве даны три точки A, B,C, причем . При каких m и n эти точки лежат на одной прямой? В треугольнике ABC, А(1;-1;1), В(-1;-1;3). Вершина С лежит на отрицательной полуоси Oz. Найдите длину медианы СМ. .  В кубе точка М – середина ребра , длина ребра равна 1.Найдите: а) угол между прямыми,  и , б) расстояние между серединаит отрезков и .
Точки  А(14;-8;-1), В(7;3;-1), С(-6;4;-1), D(1;-7;-1) являются вершинами ромба АВСD. Найдите острый угол ромба.

Вариант 9.

1.При каких значениях векторы  компланарны?

2.Прямая АВ задана двумя точками А(-1;2;1) и В(2;1;-1). Найдите координаты точки М, лежащей на этой прямой, если АМ=.

3.Найдите длину вектора , если   .

4. В кубе точкаМ центр грани , К - середина АD. Найдите площадь треугольника , если ребро куба равно 1.