Ответы и решения. 7 класс (стр. 2 )

Для чисел a, b и c выполняются три равенства: , ,  . Найдите . 

Ответ: 9.

Решение. Сложив все три равенства, получим .  Откуда . 

Критерии. Верный обоснованный ответ – 7 баллов.

В доме двое механических часов: одни отстают на 15 минут в сутки, а другие на 10 минут в сутки спешат. Сегодня в полдень и те и другие часы показывали правильное время. Когда в следующий раз они одновременно покажут правильное время? 

Ответ: через 144 суток.

Решение. Первые часы за четверо суток отстают на 1 час, и через 48 суток они отстанут на 12 часов и впервые снова покажут правильное время. Вторые за 6 суток убегают вперед на час и через 72 суток убегут вперед на 12 часов и впервые покажут правильное время. Таким образом, первые часы показывают точное время через каждые 48 суток, а вторые – через каждые 72 суток. Так как НОК чисел 48 и 72 равен 144, то через 144 суток они впервые одновременно покажут правильное время.

Критерии. Верно определено через сколько суток первые часы покажут правильное время – 3 балла, то же для вторых часов – плюс еще 3 балла; правильно определен НОК чисел 48 и 72 – плюс 1 балл.

Медиана из вершины A остроугольного треугольника ABC пересекает высоту из вершины B в точке O и образует с ней угол . Докажите, что BO = AC.

Доказательство. Пусть M – середина стороны BC. Восстановим из точки M перпендикуляры MN и ML к высоте BH и стороне AC. MN и ML – средние линии в треугольнике BCH, поэтому BN = NH, HL = LC. Кроме этого ML , а потому  , то есть треугольник AML – прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, . Осталось заметить, что треугольник MON тоже прямоугольный и равнобедренный, и следовательно . Таким образом, .

Критерии. Верное доказательство – 7 баллов; Доказано равенство – 4 балла.

На линейке первого сентября ученики первого класса выпустили в небо воздушные шары красного, синего и зеленого цветов. Оказалось, что среди любых 80 выпущенных шаров можно всегда выбрать 20 синих, 20 красных и 20 зеленых шаров. Какое наибольшее число шаров могли выпустить первоклассники? 

Ответ: 90.

Решение. По условию задачи, шаров каждого цвета не меньше 20. С другой стороны всего шаров любых двух цветов не может быть больше 60, иначе найдется 80 шаров, среди которых не окажется 20 шаров третьего цвета. Таким образом, если всего выпушено k – красных, s – синих и z – зеленых шаров, то  , откуда или . Если выпущено по 30 шаров каждого цвета, то условие задачи выполняется. 

Критерии. Верный обоснованный ответ – 7 баллов; доказано, что шаров каких-то двух цветов не более 60 – 4 балла; не приведен пример достижимости оценки – минус 2 балл.

9 класс

Назовем натуральное число хорошим, если цифры в его десятичной записи можно разбить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны. Найдите наименьшее натуральное n такое, что числа n и n + 1 –хорошие. 

Ответ: 549.

Решение. Двузначные числа очевидно не подходят. Рассмотрим трехзначное число . Если c , то c + 1, либо b + c + 1 и число  не является хорошим. Таким образом, c = 9. Тогда, , и  , откуда . Подставляя значение a в первое равенство, получим , откуда . 

Критерии. Правильный, обоснованный ответ – 7 баллов. Правильный ответ без обоснования – 1 балл. 

Решите уравнение , где – целая часть числа x – наибольшее целое число, не превосходящее x.

Ответ: 1; ; ; 9.

Решение. Так как – целое, то и – целое число. Далее,

Если , то и  . Если же , то . Таким образом, . Перебирая все возможные случаи, находим решения 1, , , 9.