Ответы и решения. 7 класс (стр. 4 )

Критерии. Верное доказательство – 7 баллов; построен треугольник  CED – 3 балла. 

В квадрате отметили 8 клеток. Прямоугольник какой наибольшей площади заведомо можно вырезать (по клеточкам) из квадрата, чтобы в него не попало ни одной отмеченной клетки. 

Ответ: 9 клеток.

Решение. Так как в прямоугольнике отмечено 8 клеток, то одна из горизонталей не содержит ни одной отмеченной клетки. Следовательно,  прямоугольник всегда можно вырезать из квадрата. Пример квадрата с восемью отмеченными клетками, когда большего по площади прямоугольника вырезать нельзя:

Критерии. Доказана оценка и приведен пример – 7 баллов; указана оценка без примера – 1 балл; приведен пример без доказательства оценки – 6 баллов. 

Решите уравнение , где – целая часть числа x – наибольшее целое число, не превосходящее x. 

Ответ. , 1. 

Решение. Разность есть дробная часть вычитаемого. Следовательно, , откуда . Пусть , где a – целое. Тогда . Подставляя полученное значение x в неравенства, получим , или . Поскольку a – целое, то a = 2 или 3, а или 1. 

Критерии. Обоснованно определены все решения – 7 баллов; верные ответы с проверкой, но без обоснования – 1 балл; один верный ответ – 0 баллов; определение дробной части – 1 балл.

11 класс

Докажите, что при и   > 1. 

Доказательство. 1.

Критерии. Верное доказательство – 7 баллов; любое неверное доказательство – 0 баллов.

Можно ли расставить в ряд 126 различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 300, так, чтобы сумма любых четырех подряд идущих чисел не делилась на 3, а сумма любых пяти подряд идущих чисел делилась на 3.

Ответ: да, можно.

Решение. Все натуральные числа от 1 до 300, которые дают остаток 1 при делении на 3, отнесем к набору А, а которые дают остаток 2 – к набору Б. В каждом наборе ровно по 100 чисел. Рассмотрим следующую расстановку: на первое место поставим любое число из набора Б, а за ним четыре числа из набора А, снова ставим число из набора Б и четыре числа из набора А, и так далее. В результате будут выписаны 25 групп по 5 чисел, начинающихся с чисел набора Б и четырех чисел набора А. На 126 место поставим число из группы Б. Таким образом, всего будет расставлено 26 чисел из набора Б и все 100 чисел из набора А. Сумма остатков любых четырех подряд стоящих чисел в построенном ряду при делении на 3 будет равна 4 или 5, а сумма остатков любых пяти подряд идущих чисел равна 6. Следовательно, сумма любых четырех подряд идущих чисел не делится на 3, а сумма любых пяти подряд идущих чисел делится на 3. 

Критерии. Верный обоснованный ответ – 7 баллов; ответ без обоснования – 0 баллов; разбиение чисел на три класса по остаткам от деления на 3 – 1 балл; арифметические ошибки при подсчете чисел выстраиваемой последовательности – минус 1-2 балла.

Докажите, что для любого простого p > 2 уравнение  имеет единственное решение в натуральных числах. 

Доказательство. Данное уравнение перепишем в виде   (*). Так как p простое, то один из сомножителей правой части делится на p. Если , то и подставляя в (*) имеем , откуда, после сокращения на p, получим уравнение  , которое не имеет решений в натуральных числах. Следовательно,   и  . Подставляя в (*), после преобразований получим . Так как числа и  взаимно простые, то p делится на , а так как p простое, то ,  , а . Поскольку уравнение , для каждого простого p имеет единственное решение, то и исходное уравнение имеет единственное решение.

Критерии. Верное доказательство – 7 баллов; каждый пробел в доказательстве – минус 1 балл.

Имеется 16 куч по 16 камней в каждой. Играют двое. За один ход разрешается забрать все камни из одной или из двух куч, либо взять по одному или по два камня из каждой кучи. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер? (Игра правильная, если каждый из игроков придерживается в ней наилучшей стратегии).

Ответ: выигрывает партнер.

Решение. Рассмотрим частные случаи. 1) Имеется три кучи по три камня. После хода начинающего останутся либо одна или две кучи, либо три кучи с одним или с двумя камнями. Во всех вариантах партнер забирает все оставшиеся камни и выигрывает. 2) Имеется 4 кучи по 4 камня в каждой. Если начинающий забирает все камни из одной кучи, то партнер делает симметричный ход – берет по одному камню из каждой кучи, и наоборот. В обоих случаях приходим к первому случаю, где первый ход начинающего и он проигрывает. В остальных случаях, начинающий оставляет после своего хода либо две кучи камней, либо четыре кучи по два камня в каждой. В обоих случаях партнер забирает все камни и выигрывает. Общий случай. Пусть имеется n куч по n камней в каждой. Если начинающий забирает все камни из одной или из двух куч, то партнер отвечает симметрично – берет, соответственно, по одному или по два камня из каждой кучи, и наоборот, если начинающий берет по одному или по два камня из каждой кучи, то партнер забирает все камни соответственно из одной или из двух куч. В результате этой пары ходов игра сведется к ситуации для n – 1 кучи с n – 1 камнем в каждой, либо к  n – 2 кучам по  n – 2 камня в каждой. В обоих случаях первый ход у начинающего. В результате такой стратегии партнера, через некоторое число ходов игра придет либо к случаю 1, либо к случаю 2 с первым ходом начинающего. Следовательно, всегда выигрывает партнер.

Критерии. Верный, обоснованный ответ – 7 баллов; рассмотрены частные случаи – 1-2 балла; ответ без обоснования – 0 баллов. 

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD не параллельны. Диагонали AC и BD четырехугольника  пересекаются в точке O. На отрезках AC и BD выбраны соответственно такие точки M и N, что AM = OC и  DN = BO. Докажите, что из отрезков AB, CD и MN можно составить треугольник.

Доказательство. Проведем через точку C прямую параллельную AB и отложим на ней отрезок CK = AB так, чтобы точки B и K  были расположены по разные стороны от прямой AC. Из равенства  AM = OC следует, что AO = CM. Наконец, ∠BAO = ∠MCK, как внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и CK  секущей AC. Таким образом, △ABO = △MCK по двум сторонам и углу между ними.  Из равенства треугольников имеем ∠AOB = ∠ CMK. С другой стороны,  ∠AOB = ∠COD как вертикальные. Следовательно, ∠ CMK = ∠COD, то есть прямые MK и DN параллельны и MK = BO = DN. Таким образом, четырехугольник MKDN параллелограмм и MN = DK. Тогда треугольник CKD – искомый. Требуемый треугольник аналогично строится, если проводить через точку B прямую, параллельную стороне CD.

Критерии. Верное доказательство – 7 баллов; построение треугольника с двумя данными сторонами – 1 балл.