Ответы и решения. 7 класс (стр. 3 )

Критерии. Обоснованно найдены все решения – 7 баллов; найдены решения 1 и 9 из решения квадратичного уравнения – 1 балл; указана нижняя граница для x – 1 балл, найдены обе границы – 2 балла, приведены без обоснования все решения – 5 баллов. 

Найдите все такие натуральные n, что ровно для 25 натуральных чисел k верно неравенство . 

Ответ: 80, 82, 83. n = 80, k = 16, …, 40. n = 82, k = 17, . . ., 41. n = 83, k = 17, . . . , 41.  Решение. Перепишем данные неравенства следующим образом . Так как k должно принимать ровно 25 различных значений, то эти 25 чисел должны идти подряд. Следовательно, , откуда . Для каждого из полученных  значений n найдем все k и проверим выполнение неравенств. Для n = 81 имеем  , или , то есть, имеется только 24 числа, для которых выполняются требуемые неравенства. Для остальных значений n все условия задачи выполняются.

Критерии. Обоснованно найдены все решения – 7 баллов; потеря решений – минус 3-4 балла; включение в ответ значения 81 – минус 2 балла.

В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны BC, точка N – середина стороны CD. P – точка пересечения отрезков MD и BN. Докажите, что угол MAN равен углу BPM. 

Доказательство. Пусть L – середина стороны AB. Прямые LD и BN параллельны, так как четырехугольник LBND – параллелограмм (противоположные стороны LB и ND равны и параллельны). Следовательно, ∠BPN = ∠LDM, как соответствующие углы при пересечении прямой DM параллельных прямых LD и BN. Осталось показать, что треугольники AMN и DLM равны. Действительно, AM = DM, как гипотенузы в равных прямоугольных треугольниках ABM и DCM. Аналогично,  MN = ML, как соответствующие стороны в равных треугольниках MCN и MBL. Наконец, AN и DL равны как диагонали прямоугольника ALND, или гипотенузы равных прямоугольных треугольников LAD и NDA. Таким образом,  ∠MAN = ∠LDM = ∠BPM. Что и требовалось доказать. Аналогично доказывается равенство требуемых углов, если вершину B соединить с серединой стороны AD.

Критерии. Верное доказательство – 7 баллов; построен треугольник, равный треугольнику MAN – 4 балла.

25 волейбольных команд провели турнир в один круг. Оказалось, что среди любых пяти из этих команд есть команда, выигравшая у остальных четырех, и команда, проигравшая остальным четырем. Докажите, что в этом турнире одна из команд выиграла у всех остальных. 

Доказательство. Разобьем все команды на пять групп по пять команд. В каждой группе, по условию, найдется команда победительница, выигравшая у остальных четырех. Из пяти команд победительниц групп опять же по условию, найдется команда, выигравшая у остальных четырех. Тогда эта команда, назовем ее  А,  выиграла у всех остальных команд турнира. Действительно, предположим, что она проиграла некоторой команде В, которая входит в одну из начальных пятерок с командой победительницей Б (В не может быть победительницей группы). И пусть команда Г в этой пятерке проиграла всем остальным.  Тогда среди пяти команд А, Б, В, Г и одной из двух оставшихся команд рассматриваемой пятерки нет команды, которая выиграла у всех остальных. Противоречие. 

Критерии. Верное доказательство – 7 баллов; верный ответ без обоснования – 2 балла. 

10 класс

Действительные числа a, b и c удовлетворяют неравенству  . Докажите, что тогда справедливо неравенство . 

Доказательство. Рассмотрим квадратичную функцию . Из данного неравенства следует, что , то есть коэффициент a и значение функции в точке x = 1 не равны нулю и имеют противоположные значения. Это означает, что если ветви параболы направлены вверх, то значение функции в точке x = 1 отрицательно, а если вниз, то положительно, то есть, в обоих случаях график функции пересекает ось абсцисс в двух точках. Таким образом,  уравнение имеет два корня, а значит дискриминант . Откуда и следует требуемое неравенство.

Критерии. Верное доказательство – 7 баллов.

Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения  , где .

Ответ:  ;  2.

Решение. Так как каждая из дробей не превосходит 1, то наибольшее значение, равное 2, достигается, когда все переменные принимают равные значения. Наименьшее значение. Пусть числа таковы, что выражение принимает наименьшее значение. Тогда очевидно, что , в противном случае значение выражения можно уменьшить. Далее, если , то, заменяя z на y, мы уменьшим второе слагаемое, а, следовательно, и всю сумму. Таким образом, наименьшее значение исходного выражения достигается на сумме . Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем . Равенство достигается, когда слагаемые равны, то есть , откуда y = 80. Наименьшее значение суммы и значение переменной y можно найти с использованием производной.

Критерии. Верно и обосновано найдены оба значения выражения – 7 баллов; найдено только наибольшее значение – 1 балл; найдена оценка наименьшего значения – 4 балла, доказана достижимость нижней оценки – плюс 2 балла.

В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠BCD = ∠CDA . Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M на стороне CD. Докажите, что M – середина стороны CD.

Доказательство. Продолжим стороны BC и AD за точки C и D. Так как ∠BCD = ∠CDA , то смежные им углы острые и поэтому продолжения этих сторон пересекутся в некоторой точке  E. При этом треугольник CED – равнобедренный. Поскольку M  – точка пересечения биссектрис углов A и B, то M  – точка пересечения биссектрис треугольников BED, следовательно EM – биссектриса, проведенная из вершины E равнобедренном треугольнике CED. Следовательно EM – медиана треугольника CED, и точка E – середина стороны CD.