Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
2016-2017 учебный год
Ответы и решения.
Ваня выбрал несколько различных натуральных чисел. Произведение двух самых маленьких из них равно 16, а произведение двух самых больших равно 225. Чему равна сумма всех Ваниных чисел?Ответ: 44.
Решение. Поскольку Ваня выбрал различные числа, то 
, а 
. При этом оба множителя, произведение которых равно 16, должны быть меньше каждого множителя, произведение которых равно 225. Из восьми возможных вариантов выбора мн6ожителей чисел 16 и 225 подходят пары 
и 
.Так как 2 и 8 наименьшие, а 9 и 25 наибольшие, то других чисел, среди выбранных Ваней, нет.
Критерии. Верный ответ – 7 баллов; арифметическая ошибка – минус 1 балл.
В 20 пеналах разложены красные и синие ручки по 5 ручек в каждом. Известно, что всего красных и синих ручек поровну, а в одном из пеналов имеется всего лишь одна синяя ручка. При этом нашлось еще 15 пеналов, в каждом из которых красных ручек больше, чем синих. В каком наименьшем числе пеналов могут оказаться только синие ручки?
Ответ: 3.
Решение. По условию, всего в 20 пеналах 100 ручек: 50 синих и 50 красных. В каждом из 15 пеналов, где красных ручек больше, лежит, по крайней мере, три красные ручки. Следовательно, в 16 = 1 + 15 пеналах находится не меньше 
красных ручек. Тогда, в четырех оставшихся пеналах может быть не более одной красной ручки. Поэтому, по крайней мере, в трех пеналах будут только синие ручки. Наконец, если в каждом из 15 пеналов будет находиться ровно 3 красные ручки, то ровно в трех пеналах будут одни синие ручки.
Критерии. Верный ответ с пояснениями – 7 баллов; указано, что имеется 16 пеналов, в которых ровно 49 красных ручек – 5 баллов.
Натуральное число разделили с остатком на два других меньших числа. Может ли сумма остатков равняться исходному числу?
Ответ: нет.
Решение. Пусть исходное число a при делении на число b
дает остаток r. Тогда, если 
, то остаток 
. Если же 
, то 
и 
. Таким образом, сумма любых двух остатков меньше 
= a.
Критерии. Полное обоснованное решение – 7 баллов; доказано для одного из случаев 
или 
- 3 балла.
На прямой, содержащей сторону AB треугольника ABC, расположены три точки: D, E и F (не обязательно именно в этом порядке). Известно, что ∠ACB =
, ∠BCD = 
, ∠DCE = 
, ∠ECF = 
, ∠FCA = 
. Между какими двумя из этих пяти точек на прямой AB самое большое расстояние? Ответ: между точками D и F.
Решение. Если точка D лежит на продолжении AB за точку B, то точка E лежит на продолжении BD за точку D. Иначе, точки A и E совпадут, так как ∠DCE = ∠DCA = 
. По тем же причинам и точка F будет лежать на продолжении отрезка DE за точку D. Но в этом случае ∠FCA = 
, что противоречит условию задачи. Следовательно, точка D лежит на продолжении AB за точку A. Далее, если точка E лежит на AD за точку D, то точка F будет лежать на продолжении отрезка DE за точку E, иначе она совпадет с точкой A. Следовательно, точка E лежит на AD за точку A. В этом случае ∠ACE = 
, и тогда точка F будет лежать на продолжении отрезка AE за точку E. Таким образом, самое большое расстояние будет между точками D и F.
Критерии. Верный обоснованный ответ – 7 баллов. Верный ответ без пояснений – 4-5 баллов.
Незнайка лжет по понедельникам, вторникам и пятницам, а в остальные дни недели говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: «Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра»?
Ответ: по понедельникам, вторникам, средам, пятницам и воскресениям. Решение. Незнайка может сказать фразу, приведенную в условии, в двух случаях: 1) в те дни, когда он говорит правду, если за два дня до этого и через два дня после этого он лжет; 2) в те дни, когда он лжет, если за два дня до этого или через два дня после этого он говорит правду. Последовательным перебором всех семи дней недели можно убедиться, что этим условиям удовлетворяют все дни недели, кроме четверга и субботы.
Критерии: Ответ «среда» – 1 балл, «воскресенье» – 1 балл, полный обоснованный ответ – 7 баллов.
В таблице
расставлены числа. Можно ли, зная суммы чисел по строкам и по столбцам, вычислить, какое число стоит в центре таблицы? Ответ: нет.
a | b | c |
d | e | f |
g | h | i |
a+1 | b-1 | c |
d-1 | e+2 | f-1 |
g | h-1 | i+1 |
Решение. Рассмотрим следующие
две таблицы:
В этих таблицах, как легко проверить, суммы чисел и по строкам и по столбцам полностью совпадают, а в центральной клетке стоят разные числа.
Критерии. Верный обоснованный ответ – 7 баллов; получен верный ответ в частном случае, когда суммы чисел в строках или столбцах равны – 2 балла; верный ответ при отсутствии обосновании – 1 балл; неверный ответ – 0 баллов.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
