чае _ граничное интегральное уравнение), а затем применяется квадратурная
формула. Применение новых методов не меняет схему в целом, однако дает
значительную экономию машинного времени при решении задач на сфере.
Отметим, что задача о дифракции на плоском конусе имеет ряд практиче-
ских применений. Прежде всего, это дифракция на краях кромок летательных
аппаратов и подводных объектов. Хорошо известно, что именно угловые точки
дают основной вклад при рассеянии “почти везде”, т. е. для всех направлений,
за исключением бликов от поверхностей и кромок.
Рассматриваемые задачи представляют собой канонические задачи теории
дифракции в том смысле, что их решения могут быть использованы как со-
ставные части при построении приближенных решений более сложных задач,
например, в рамках методов, предложенных Дж. Келлером [8] (геометрическая
теория дифракции), [9] или [10] (физиче-
ская теория дифракции).
Обзор литературы
Точное решение задачи о дифракции на полосе с идеальными граничными
условиями было получено с помощью разделения переменных в эллиптических
координатах в работах [11, 12]. В работе [13] данное решение было проанали-
зировано, и были выделены выражения, соответствующие краевым волнам. В
недавней работе [14] точное решение численно сравнивается с приближением
Кирхгофа.
Другой способ построить решение задачи о полосе (щели) заключается в
том, чтобы воспользоваться решением задачи о полупрямой и построить бес-
конечную последовательность рассеяний на краях полосы (ряд Шварцшиль-
да) [15, 16, 17, 18, 19, 20]. Если полоса достаточно широкая по сравнению с
длиной волны, можно ограничиться несколькими членами ряда Шварцшиль-
да, получив тем самым приближенную формулу для дифракционного поля. Ряд
Шварцшильда является сходящимся при любом соотношении ширины полосы и
длины волны. Важно отметить, что многие дальнейшие работы посвящены ана-
лизу ряда Шварцшильда в той или иной его форме, а также поучению простых
формул для дифракционного коэффициента в одном из первых приближений.
Наиболее общий вид дифракционного ряда, пригодный для использования в
самых разных задачах (в том числе, включающих угловые препятствия), по-
строен в [21]. В своих исследованиях автор опирается на работы по квантовой
механике [22, 23].
Метод геометрической оптики был применен к задаче о щели в работе [24].
Приближенный метод Винера-Хопфа применен к задаче о полосе в моногра-
Введение 7
фии [6]. Функциональное уравнение Винера-Хопфа сводится к интегральному
уравнению, для которого строятся приближенные методы решения. Сюда же
следует отнести результаты, полученные в работах [25, 26, 27,
28, 29] и собранные в монографии [30], а также работу [31].
В работе [32] фактически строится ряд Шварцшильда для токов на поверх-
ности экрана со щелью. Ядро интегрального уравнения, которому удовлетворя-
ет сумма ряда, выражается в элементарных функциях координат (члены ряда
получаются итерированием этого ядра). Утверждается, что неизвестные функ-
ции представляют собой теневые токи, т. е. токи, текущие на теневых поверх-
ностях экранов и быстро спадающие при удалении от ребра. Такой подход поз-
воляет приближенно просуммировать ряд и получить выражение для токов.
Дифракционный коэффициент затем находится в квадратурах. В работе [33]
данный метод обобщается на другие задачи. Асимптотическое решение урав-
нения для тока на ленте с точностью до членов порядка (kl)−5/2 (здесь kl есть
произведение ширины полосы на волновое число) получено в [34]. Дальнейшее
исследование интегрального уравнения для токов, полученного в [32], проведе-
но в работах [35, 36].
По видимому, ключевой работой, посвященной задаче о дифракции на по-
лосе, является работа [37]. В данной работе на основе метода Винера-Хопфа
строится интегральное уравнение, описывающее ряд Шварцшильда для задачи
о щели (т. е. представляющее результат каждого следующего акта дифракции
как результат интегрального преобразования, производимого с полем, найден-
ным на предыдущем шаге). В работе утверждается, что существует псевдодиф-
ференциальный оператор, переводящий построенное интегральное уравнение в
уравнение с разностным ядром. Кроме того, работа содержит важное наблю-
дение о том, что ряд Шварцшильда для дифракционного коэффициента сам
по себе не является асимптотическим по параметру k0a, поскольку его после-
довательные члены имеют равные по величине значения при скользящих углах
рассеяния. Это означает, что для корректного определения n-ого порядка раз-
ложения необходимо проанализировать члены ряда с номерами по n+1. Кроме
того, в работе утверждается, что для задачи о щели резонансные свойства про-
являться не могут. Наконец, в работе построена простая приближенная форму-
ла для дифракционного коэффициента, удовлетворяющая принципу взаимно-
сти и проанализирована формула, полученная ранее в [25]. Методы, развитые
в [37], использовались также в [38, 39].
Наиболее полное асимптотическое исследование задачи о полосе дано в ра-
ботах [40, 9], где найдено рассеянное поле в дальней зоне с точностью до лю-
бой заданной степени (kl)−n. Примененный в этой работе метод заключается в
рассмотрении дифракции волны, имеющей профиль “ступеньки”. Для данного
случая решение может быть получено в замкнутом виде для любого дифракци-
Введение 8
онного порядка. Однако переход к стационарной задаче требует суммирования
бесконечного числа порядков. Сходный метод был применен в [41].
Математические вопросы (существование, единственность, классы правых
частей, для которых существует решение) для задачи о полосе подробно рас-
смотрены в [42]. Кроме того, в данной работе построены асимптотики для плот-
ности токов при малых k0a и при больших k0a. Ранее длинноволновое прибли-
жение для задачи о щели было исследовано в [43]. Математические аспекты
электромагнитной задачи дифракции на щели подробно рассмотрены в [44]. В
работе [45] к задаче применен метод интегральных уравнений.
Сравнение точного решения с приближением Кирхгофа и приближением
геометрической теории дифракции для задачи о полосе проделано в [46]. Срав-
нение подхода и Дж. Келлера к задаче о полосе проделано в [47].
Еще одним возможным способом решения задачи о полосе является постро-
ение разложения падающего поля в ряд по некоторой системе функций, для
которых решение интегрального уравнения известно [48, 49]. Этот метод во
многом является сходным с традиционным преобразованием Фурье.
Критический обзор попыток построить точное решение задачи о полосе с
идеальными граничными условиями, обобщив метод Зоммерфельда, содержит-
ся в [50]. В качестве основных работ в этой области данный обзор называет [51]
и [52, 53]. Обзор [50] заканчивается достаточно пессимистичным выводом о том,
что пока ни один из методов не приводит к обобщению результата Зоммерфель-
да на случай задачи о полосе.
Из недавних работ, посвященных дифракции на идеальной полосе, можно
отметить работу [54], где исследовался случай скользящего падения волны.
Все сказанное относилось к задаче с идеальными граничными условиями.
Имеется также обширная литература, в которой похожие приближенные мето-
ды применяются к задаче о дифракции на полосе (щели в экране) с импеданс-
ными граничными условиями, например [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61].
В ряде работ исследовалось прохождение импульса или пучка через щель [62,
63, 64].
Наиболее близко к теме диссертации относятся статьи [65, 66], а также более
поздняя работы [67]. В данных работах для задачи о полосе выведены обык-
новенные дифференциальные уравнения, причем в качестве независимой пе-
ременной используется координата, расположенная в плоскости полосы. Наи-
более полной представляется работа [66], где получена формула расщепления
(embedding formula), выражающая решение для произвольного угла падения
через два “эталонных” решения, выведено обыкновенное дифференциальное
уравнение для неизвестной функции на полосе, а также построены эволюци-
онные уравнения, описывающие зависимость коэффициентов дифференциаль-
ного уравнения от ширины полосы.
Введение 9
Для дифракции на решетках (в рассматриваемом случае _ на системах
полос, состоящих более чем из одной полосы) получено меньшее количество
аналитических результатов. Различными способами удалось решить задачу о
дифракции на бесконечной дифракционной решетке, состоящей из идеальных
компланарных полос, разделенных пространством, равным ширине полосы. Этот
частный случай оказывается гораздо проще общего случая (проем и полоса име-
ют разную ширину). К данной задаче применялся матричный метод Винера-
Хопфа [68, 7, 69, 70, 71], в частности, задача сводилась к скалярной факториза-
ции или к матричной факторизации по Храпкову [72]. В работе [73] данная за-
дача сводится к точно решаемой задаче Римана-Гильберта. Среди работ, в кото-
рых применялись полуаналитические методы, необходимо отметить [74, 75, 76].
Обзор работ по периодическим дифракционным решеткам содержится в моно-
графии [77].
Следует также отметить работу [78], где для конечной дифракционной ре-
шетки был построен ряд по собственным функциям, напоминающим функции
Матье. При этом автор основывался на результатах, полученных в [65]. Вычис-
лительные перспективы этого метода не вполне ясны.
Бесконечная периодическая дифракционная решетка была рассмотрена в
работе [79]. Рассматривалось коротковолновое приближение. Производилось пре-
образование интегрального уравнения таким образом, чтобы норма ядра стала
строго меньше единицы (для этого в операторе выделяется часть, связанная с
одним элементом решетки, и эта часть обращается). Полученное интегральное
уравнение решается с помощью ряда Неймана.
Математические аспекты дифракции на конечных решетках рассмотрены в
работах [80, 81]. Рассматривалась даже более общая задача, а именно, рассе-
иватели предполагались не обязательно прямолинейными. Доказано существо-
вание и единственность решения и построено интегральное уравнение в рамках
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
