теории потенциала.
Формулы расщепления (embedding formulae в англоязычной литературе),
широко используемые в данной работе, были впервые получены в работе [66].
Затем была построена формула расщепления для круглой плоской трещины
в упругом материале [82]. В работе [83] формулы расщепления были получе-
ны для полосы с импедансными границами. Позднее были получены формулы
расщепления для конечных дифракционных решеток, состоящих из тонких [84]
и толстых [85] полос, а также для некоторых других сходных задач [86, 87].
Процедура вычислений на основе формулы расщепления подробно описана в
учебнике [88]. В работах [89, 90] метод расщепления применялся для решения
уравнения Гойна с ложной особой точкой.
Формулы расщепления не дают решения дифракционной задачи, однако
снижают количество параметров, изменяемых при табулировании дифракцион-
Введение 10
ного коэффициента. А именно, вместо того, чтобы проводить расчет при всех
возможных значениях угла падения, можно вычислить дифракционный коэф-
фициент при нескольких эталонных углах падения, а затем воспользоваться
формулой расщепления.
Существование координатных уравнений, выведенных в работе, тесно связа-
но с возможностью аналитического продолжения волновых полей в комплекс-
ную область (т. е. рассмотрение поля u(x, y) при действительных x и y как следа
аналитической функции комплексных переменных). Общие методы аналитиче-
ского продолжения волновых полей описаны в обзоре [91]. Данный обзор содер-
жит также обширную библиографию.
Перейдем к рассмотрению задач дифракции на конусах. Они интересны с
точки зрения геометрической теории дифракции и других приближенных ме-
тодов. Решения этих задач дают дифракционные коэффициенты для элементов,
содержащих острые выступы. Основные задачи, связанные с конусами, следу-
ющие: дифракция на плоском конусе (например на четвертьплоскости), на кру-
говом и эллиптическом конусе, дифракция на конусе полигонального сечения
(например на конусе, представляющем собой уголок куба). Граничные усло-
вия могут быть идеальными или импедансными. В настоящей работе решается
только скалярная задача о дифракции на четвертьплоскости с идеальными гра-
ничными условиями.
Основным методом, применяемым для решения конических задач, является
отделение радиальной переменной и исследование оператора Лапласа-Бельтра-
ми в двух оставшихся угловых переменных. В случае эллиптического конуса с
идеальными граничными условиями (частными случаями такого конуса явля-
ются плоский и круговой конусы) можно формально решить задачу до конца,
разделив переменные в сферо-конических координатах. Решение представляет-
ся в виде ряда по функциям Ламе.
Решение скалярной (акустической) задачи об эллиптическом конусе, полу-
ченное с помощью разделения переменных, содержится в работе [92]. Решение
векторной (электромагнитной) задачи может быть получено из решения ска-
лярной задачи при помощи метода дебаевских потенциалов [9, 93].
Значительный выигрыш при численном анализе дает переход от ряда по спе-
циальным функциям к контурному интегралу в области комплексных значений
константы разделения. Этот переход выполняется с помощью преобразования
Ватсона [94]. Для задач о дифракции на конусе данная процедура описана в
работах [95, 96, 97, 98].
Задача о дифракции на четвертьплоскости рассмотрена с помощью разде-
ления переменных в работах [99, 100].
В недавних работах по конусам развиты методы построения численных ре-
шений для конусов произвольного сечения [101, 102, 103, 104, 105]. В данных
Введение 11
работах используется техника преобразования Ватсона и подробно изучаются
интегральные уравнения, возникающие при решении граничной задачи для опе-
ратора Лапласа-Бельтрами. В частности, обсуждаются особенности решений,
возникающие вблизи угловых точек сечения, соответствующих ребрам конуса.
Задача о плоском конусе может рассматриваться как частный случай более
общей задаче о дифракции на конусе со щелями, решаемой с помощью преобра-
зования Конторовича-Лебедева и интегральных уравнений в [106, 107]. К задаче
о плоском конусе наиболее близка по постановке рассмотренная в [108] задача
о дифракции на семействе из компланарных плоских конусов (угловых полос),
имеющих общую вершину. Отметим, что методы, развитые в настоящей рабо-
те, позволяют решить задачу о компланарных угловых полосах с идеальными
граничными условиями.
Имеется также значительное число работ о дифракции на конусах с импе-
дансными граничными условиями. Среди этих работ отметим [109, 110], где
был получен главный член асимптотики дифракционного коэффициента для
кругового конуса и конуса произвольного сечения.
Итак, задача о дифракции на плоском конусе с идеальными граничными
условиями имеет точное решение, полученное методом разделения переменных.
Это обстоятельство, однако, не уменьшает интерес к данной задаче. Дело в том,
что точным решением крайне неудобно пользоваться с практической точки зре-
ния. Его структура не отражает очевидных свойств поля (наличия отраженных
и рассеянных ребрами волн), а сам ряд плохо сходится. Контурный интеграл, к
которому удается привести ряд с помощью преобразования Ватсона, также не
слишком удобен для вычислений. Поэтому неоднократно предпринимались по-
пытки построить простое аналитическое решение для дифракции плоской вол-
ны на плоском конусе, аналогичное по структуре решению Зоммерфельда для
полупрямой [1]. Основные надежды были связаны с методом Винера-Хопфа [6],
однако до настоящего времени успех не был достигнут. Причина этого прежде
всего в том, что теория аналитических функций двух комплексных переменных
является качественно более сложной по сравнению с теорией одной переменной.
Имеется ряд по-видимому неверных работ на эту тему, например [111]. Указа-
ние на то, что работа [111] неверна, содержится в [112] и [113].
Некоторый прогресс был достигнут с помощью операторных методов в ра-
ботах [114, 115, 116, 112, 117], однако явного решения в компактной форме по-
строено не было. Прилиженные формулы для дифракции на четвертьплоскости
построены в [100, 118, 119].
Задача об отражении волноводной моды от торца плоского волновода бы-
ла решена [120, 121, 7, 122]. Была решена также задача о
дифракции плоской волны, падающей из открытого пространства на торец вол-
новода. Кроме того, аналогичные задачи были решены для волноводов круглого
Введение 12
сечения [123, 124, 125].
Анализ задачи о плоском волноводе в рамках лучевого приближении проде-
лан в работе [126]. Позднее в рамках лучевого подхода были проанализированы
некоторые более сложные задачи [127, 128, 129, 130].
Наибольший интерес представляет задача об отражении моды от открыто-
го конца плоского волновода в случае коротковолнового приближения, когда
частота близка к частоте отсечки для данной моды. Решение такой задачи мо-
жет быть использовано для вычисления добротности мод в резонаторе, обра-
зованном плоскопараллельными зеркалами. При этом резонатор может быть
оптическим, акустическим или микроволновым.
Место предлагаемой работы среди других работ по дифракции на полосах,
системах полос и конусах следующее. Автор обобщает результаты [66] с по-
мощью собственного метода, родственного методу Винера-Хопфа. В результате
такого обобщения удается решить задачи о дифракции на системах полос, зада-
чу об уголковом отражателе, а также задачу для оператора Лапласа-Бельтрами
на сфере с разрезом. Непосредственное развитие идей [65, 66] о дифференци-
альных уравнениях в пространственной области приводит в настоящей работе
к построению координатных уравнений, представляющих собой обобщение ме-
тода разделения переменных. Кроме того, автором предложен простой и фи-
зически наглядный метод вывода формул расщепления для широкого класса
задач.
Содержание диссертации опубликовано в восемнадцати работах. Примерное
соответствие между главами диссертации и статьями следующее:
первая глава _ [131, 132, 133, 134, 135, 136, 137];
вторая глава _ [138, 139, 140, 141];
третья глава _ [142];
четвертая глава _ [143, 144, 145];
пятая глава _ [146, 147];
шестая глава _ [148].
Журналы, в которых опубликованы работы [138, 139, 142, 131, 132, 133,
135, 136, 143, 146, 147, 137, 148], включены в список Scientific Citation Index
Expanded. Журнал, в котором опубликована работа [141], включен в список
ВАКа.
Кроме того, материал диссертации существенным образом опирается на тех-
нику вывода функциональных уравнений, развитых автором ранее для клино-
вых задач: [149, 150, 151, 152, 153], три из которых включены в список ВАКа,
а одна _ в Scientific Citation Index Expanded.
Работы [131, 132, 133, 135, 136, 143, 153, 137] выполнены с соавторами.
Введение 13
Структура работы
Работа состоит из введения, шести глав, приложения и заключения.
В главе 1 производится важнейшее упрощение рассматриваемых дифрак-
ционных задач, а именно выводится формула расщепления. Для каждой из
дифракционных задач вводятся краевые функции Грина, а затем дифракци-
онный коэффициент для данной задачи (т. е. основная величина, подлежащая
определению) выражается через диаграммы направленности краевых функций
Грина. Краевые функции Грина представляют собой волновые поля, источ-
ник которых находится вблизи края рассеивателя или точки ветвления много-
листной поверхности, на которой поставлена задача распространения волн. Для
определения краевых функций Грина используется предельный переход, напо-
минающий построение обычного дипольного источника. В главе 1 показано, что
формулы расщепления могут быть выведены для двух - и трехмерных задач ди-
фракции с кусочно-прямолинейными (плоскими) границами и с произвольными
граничными условиями. В двумерных задачах дифракционные коэффициенты
зависят от двух переменных (угла падения и угла рассеяния), а диаграммы
направленности краевых функций Грина _ только от угла рассеяния. Таким
образом, формулы расщепления позволяют существенно упростить структуру
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
