Загадочный артефакт (стр. 4 )

неизвестных функций.

В главе 2 рассматривается двумерная задача о дифракции на двух тонких

отрезках, расположенных на одной прямой, с граничными условиями Дирих-

ле. Данная задача представляет собой дифракционную задачу со смешанными

граничными условиями. Стандартными методами для нее выводится функци-

ональное уравнение типа Винера-Хопфа, однако это уравнение содержит три

неизвестных целых функции, и теория уравнений Винера-Хопфа в этом случае

не приводит к результату. Основной результат данной главы _ вывод спек-

тральных уравнений. Это обыкновенные дифференциальные уравнения, кото-

рым удовлетворяют диаграммы направленности краевых функций Грина. Неза-

висимой переменной здесь выступает угол рассеяния или косинус этого угла.

Коэффициенты уравнения представляют собой тригонометрические функции

угла рассеяния (рациональные функции его косинуса).

В качестве побочного результата получены эволюционные уравнения. Эти

уравнения представляют собой (нелинейные) обыкновенные дифференциаль-

ные уравнения, описывающие изменения волновых полей, их диаграмм направ-

ленности, а также некоторых параметров решений в зависимости от геометри-

ческих параметров рассеивателя.

В главе 3 для той же дифракционной задачи строятся координатные урав-

нения. Эти уравнения представляют собой систему дифференциальных уравне-

ний, описывающих изменение волнового поля как функции пространственных

координат. Формально эти уравнения записаны в частных производных, одна-

Введение 14

ко системы такого рода являются наиболее естественным обобщением понятия

обыкновенного дифференциального уравнения на случай двух независимых пе-

ременных. Спектральные уравнения получаются из координатных путем рас-

смотрения асимптотики дальнего поля.

В главе 4 показано, что развитые методы (формулы расщепления, спек-

тральные, эволюционные и координатные уравнения) работают не только для

задач дифракции на плоских решетках, но и для зоммерфельдовых задач с

более сложной геометрией рассеивателя. В качестве примера рассматривает-

ся задача о дифракции на двумерном уголковом отражателе, представляющем

собой две полуплоскости, расположенные под прямым углом друг к другу со

щелью между ними. В этой же главе сформулирована задача определения неиз-

вестных параметров, входящих в коэффициенты спектральных и координатных

уравнений.

В главе 5 рассматривается еще более сложная (трехмерная) задача о ди-

фракции на плоском конусе, занимающем четветьплоскость. В рамках тради-

ционного подхода производится отделение радиальной переменной, после чего

формулируется задача дифракции на единичной сфере. Эта задача оказывает-

ся зоммерфельдовой; для нее выводится формула расщепления, координатные

и эволюционные уравнения.

В главе 6 построенные ранее методы (а именно, формула расщепления и

спектральное уравнение) применяются к задаче об отражении волноводной мо-

ды от открытого конца плоского волновода. Данная задача рассматривается

в коротковолновом приближении. При этом считается, что временная частота

близка к частоте отсечки данной моды. С помощью метода отражений задача

переформулируется для многолистной поверхности. В отличие от других за-

дач, решаемых в работе, в данном случае поверхность имеет бесконечное число

листов и точек ветвления. Затем для данной задачи выписывается параболи-

ческое уравнение теории дифракции. Переход к параболическому уравнению

позволяет упростить структуру неизвестных функций. Наконец, для задачи

на многолистной поверхности строятся формула расщепления и спектральное

уравнение. Оказывается возможным получить решение спектрального уравне-

ния в явном виде. Показано, что решение совпадает с классическим решением

.

Приложение состоит из трех частей. В первой части обсуждаются некоторые

вопросы, связанные с корректной математической постановкой обсуждаемых

дифракционных задач, теоремами существования и единственности. Во второй

части доказывается теорема, связанная с симметрией спектрального уравнения.

Этот результат используется в главе 2 для формулировки задачи об отыскании

неизвестных констант. В третьей части для задачи о двух полосах описаны

процедуры построения и преобразований дифракционного ряда. Дифракцион-

Введение 15

ный ряд представляет собой самый старый и часто используемый инструмент

для анализа дифракционных задач. В случае дифракции на системе полос для

членов дифракционного ряда существует рекуррентная формула, применение

которой сводится к решению неоднородной задачи Зоммерфельда с помощью

метода Винера-Хопфа. Для такого ряда удается развить технику преобразова-

ний, приводящую к формулам расщепления, спектральным и эволюционным

уравнениям. Таким образом, результаты, полученные в главе 2, проходят про-

верку с помощью совершенно другого метода. Кроме того, коэффициенты спек-

тральных уравнений содержат несколько неизвестных дискретных параметров,

для определения которых в рамках методов главы 2 необходимо решить весьма

сложную спектральную задачу. Здесь же параметры оказываются выраженны-

ми в виде асимптотических рядов.

Положения, выносимые на защиту

Задачи, к которым относятся основные положения работы, следующие. Это

двумерная задача о дифракции на двух отрезках с идеальными граничны-

ми условиями (дифракция на двух полосах), двумерная задача о дифракции

на двух перпендикулярных полупрямых с идеальными граничными условиями

(дифракция на уголковом отражателе со щелью), трехмерная задача о дифрак-

ции на тонкой четвертьплоскости (плоском конусе) с идеальными граничными

условиями, а также двумерная задача для уравнения Лапласа-Бельтрами на

сфере с идеальным тонким рассеивателем (дугой длины π/2). Все задачи ска-

лярные и стационарные.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Для двумерной задачи о дифракции на двух полосах справедливы: форму-

ла расщепления (1.11), спектральное уравнение (7.2) с коэффициентом (7.3),

эволюционные уравнения (8.1) и (8.4), а также координатные уравнения (14.5).

2. Коэффициент спектрального уравнения для задачи о двух полосах зависит от

восьми скалярных параметров. Сформулированы ограничения связи для спек-

трального уравнения, при выполнении которых существует решение спектраль-

ного уравнения, удовлетворяющее всем условиям, накладываемым на дифрак-

ционное поле. Этих ограничений также восемь.

3. Для двумерной задачи о дифракции на уголковом отражателе со щелью

справедлива формула расщепления (2.29), координатное уравнение (19.4) с ко-

эффициентами (19.5)–(19.12), а также спектральное уравнение (20.8).

4. Для задачи распространения на многолистной поверхности, топология ко-

торой продиктована задачей об уголковом отражателе со щелью, коэффици-

енты координатных и спектрального уравнения зависят от двенадцати скаляр-

Введение 16

ных параметров. Сформулированы ограничения связи для спектрального урав-

нения, гарантирующие существование решения, удовлетворяющего всем свой-

ствам физического поля. Таких ограничений двенадцать.__

Литература

1. Sommerfeld A. Mathematische Theorie der Diffraction. // Math. Ann. _ 1896.

_ V. 47. _ P. 317–374.

2. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных

волн от клина с произвольными поверхностными импедансами. // Докл.

АН СССР. _ 1958. _ Т. 3. _ С. 752–755.

3. , , Метод Зоммерфельда-

Малюжинца в задачах дифракции. С. Пб.: ВВМ, 2004 _ 103 с.

4. Osipov A. V., Norris, A. N. The Malyuzhinets theory for scattering from wedge

boundaries: a review // Wave Motion. _ 1999. _ V. 29. _ P. 313–340.

5. Norris A. N., Osipov A. V. Far-field analysis of the Malyuzhinets solution for

plane and surface waves diffraction by an impedance wedge // Wave Motion.

_ 1999. _ V. 30. _ P. 69–89.

6. етод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962 _ 280 с.

7. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское

радио, 1966 _ 428 с.

8. Keller J. B. The geometrical theory of diffraction. // Journ. Opt. Soc. Am. _

1962. _ V. 52. _ P. 116–130.

9. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. М.:

Наука, 1966 _ 456 c.

10. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.:

Сов. Радио, 1962 _ 244 с.

11. Sieger B. Die Beugung einer ebenen elektrischen Welle an einem Schirm von

eliptischen Querschnitt. // Ann. Phys. _ 1908. _ V. 27. _ P. 626–664.

12. Morse P. M., Rubinstein P. J. The Diffraction of Waves by Ribbons and by Slits.

// Phys. Rev. _ 1938. _ V. 54. _ P. 895–898.

13. Hansen E. B. Scalar diffraction by an infinite strip and a circular disc. // Journ.

of Math. and Phys. _ 1962. – V. 41. _ P. 229–245.

Литература 278

14. Brooker G. A. Diffraction at a single ideally conducting slit. // Journ. ofModern

Optics. _ 2008. _ V. 55, _ P. 423–445.

15. Schwarzschild K. Die Beugung und Polarisation des Lichts durch einen Spalt.

// Math. Ann. _ 1902. _ V. 55. _ P. 177–247.

16. Karp S. N., Russek A. Diffraction by a wide slit. // Journ. Appl. Phys. _ 1956.

_ V. 27. _ P. 886–894.

17. Clemmow P. C. Edge Currents in Diffraction Theory. // Trans. Inst. of Radio

Eng. _ 1956. _ AP-4. _ P. 282–287.

18. Millar R. F. Diffraction by a wide slit and complimentary strip (I and II). //

Proc. Cambridge Philos. Soc. _ 1958. _ V. 54. _ P. 479–511.

19. Braunbek W. Neue Naherungsmetode fЁur die Beugung am ebenen Schirm. //

Zeitschrift fЁur Physik. _ 1950. _ V. 127. _ P. 381–390.

20. Braunbek W., Zur Beugung an der Kreisscheibe. // Zeitschrift fЁur Physik. _

1950. _ V. 127. _ P. 405–415.

21. Hannay J. H., Thain A. Exact scattering theory for any straight reflectors in

two dimensions. // Journ. Phys. A. _ 2003. _ V. 36. _ P. 4063–4080.

22. Stovicek P. The Green function for the two solenoid Aharonov–Bohm effect.

// Phys. Lett. A. _ 1989. _ V. 142. _ P. 5_10.

23. Stovicek P. Krein’s formula approach to the multisolenoid Aharonov–Bohm

effect. // J. Math. Phys. _ 1991. _ V. 32. _ P. 2114_2122.