Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава 1. Краевые функции Грина и формулы расщепления
§1. Краевые функции Грина и формулы расщепления в двумерных
задачах на плоскости с рассеивателями. . . . . . . . . . . . . . . . 17
§2. Краевые функции Грина и формулы расщепления в двумерных
задачах на зоммерфельдовых поверхностях. . . . . . . . . . . . . 26
§3. Формулы расщепления в трехмерных задачах. . . . . . . . . . . . . 42
§4. Некоторые дальнейшие обобщения формулы расщепления. . . . . . 51
§5. Основные результаты главы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Глава 2. Обобщение метода Винера-Хопфа для дифракции на двух
полосах. Спектральное уравнение
§6. Постановка функциональных задач для краевых функций Грина. 62
§7. Спектральное уравнение для краевых функций Грина. . . . . . . . 67
§8. Эволюционные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§9. Формулировка задачи об определении неизвестных констант. Начало 74
§10. Формулировка задачи об определении неизвестных констант. Окон-
чание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§11. Численное решение спектрального уравнения для одиночной полосы 87
§12. Основные результаты главы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Глава 3. Координатные уравнения для дифракции на двух полосах
§13. Основные свойства координатных уравнений. . . . . . . . . . . . . 100
§14. Вывод координатных уравнений для комплексных краевых функ-
ций Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§15. Тождества для параметров, входящих в коэффициенты коорди-
натных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§16. Связь координатных и спектральных уравнений. . . . . . . . . . . 118
§17. Вычисления на основе координатных уравнений для одиночной
полосы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§18. Основные результаты главы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Оглавление 2
Глава 4. Координатные и спектральные уравнения для дифракции на
уголковом отражателе со щелью
§19. Координатные уравнения для уголкового отражателя со щелью. . 134
§20. Спектральное уравнение для для уголкового отражателя со ще-
лью. Аналитические свойства его решений. . . . . . . . . . . . . . 138
§21. Свойства координатных и спектральных уравнений для задачи об
уголковом отражателе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§22. Постановка задачи об определении параметров для уголкового от-
ражателя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
§23. Основные результаты главы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Глава 5. Дифракция на плоском конусе
§24. Постановка задачи. Формулы расщепления. Модифицированные
формулы Смышляева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§25. Координатные уравнения для отыскания сферических краевых
функций Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
§26. Эволюционные уравнения для задачи на сфере. . . . . . . . . . . 195
§27. Примеры вычислений для дифракции на плоском конусе. . . . . . 199
§28. Основные результаты главы 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Глава 6. Отражение от торца плоского волновода
§29. Постановка задачи для параболического уравнения на многолист-
ной поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
§30. Формула расщепления для апертурной линии. . . . . . . . . . . . 215
§31. Спектральные уравнения для апертурной линии. . . . . . . . . . . 221
§32. Основные результаты главы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Приложение 1.
§34. О математической строгости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Приложение 2.
§35. Симметрия спектрального уравнения для задачи о двух полосах. 243
Приложение 3. Дифракционный ряд для дифракции на двух полосах
Оглавление 3
§36. Структура дифракционного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
§37. О свойствах операторов F± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
§38. Вывод формулы расщепления, спектрального уравнения и эволю-
ционного уравнения с помощью дифракционного ряда. . . . . . . 259
§39. Примеры вычислений на основе спектрального уравнения и ди-
фракционных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Введение
Рассматриваемые задачи и мотивация работы
Настоящая работа представляет новые аналитические результаты для за-
дачи о дифракции на бесконечной полосе, а также обобщает эти результаты
на случай некоторых более сложных задач. Так, рассматриваются задачи о
дифракции на конечной системе параллельных полос, лежащих в одной плос-
кости, и дифракция на уголковом отражателе со щелью. Обе задачи двумерны,
поскольку координата, направленная вдоль образующей, может быть проигно-
рирована, и вместо полосы можно рассматривать ее сечение (отрезок) в перпен-
дикулярной плоскости. Рассматривается также трехмерная задача о дифракции
на плоском конусе (четвертьплоскости). Однако эта задача путем отделения ра-
диальной переменной редуцируется к двумерной краевой задаче на сфере. Везде
предполагается, что волны скалярные (т. е. решается уравнение Гельмгольца), а
граничные условия идеальны. В такой постановке удается получить ряд точных
аналитических результатов.
Задача о рассеянии на полосе является классической для теории дифрак-
ции. Известно ее точное решение, полученное методом разделения переменных.
Кроме того, получено значительное количество асимптотических результатов,
основанных на интегральных уравнениях, к которым сводится задача. Несмот-
ря на это, продолжают выходить работы, посвященные данной задаче. Причина
состоит в следующем. Задача о полосе допускает аналогию с классической зада-
чей Зоммерфельда [1], для которой было получено компактное решение, отве-
чающее на основные вопросы, стоящие перед теорией дифракции: как выглядит
краевая волна, что происходит в зоне полутени и т. д. Решение использует тот
факт, что дифракция на полуплоскости (в двумерном случае _ на полупря-
мой) с помощью метода отражений может быть сведена к распространению на
разветвленной двулистной поверхности. Зоммерфельд предложил интегральное
представление поля, явным образом учитывающее структуру разветвленной по-
верхности. Позднее схожие результаты были получены для клина с идеальны-
ми граничными условиями, а также для импедансного клина [2]. Современный
обзор задач, решаемых методом Зоммерфельда-Малюжинца, можно найти в
монографии [3], а также в статьях [4, 5].
Еще Зоммерфельд заметил, что задача о дифракции на полосе также мо-
жет быть сведена к распространению на двулистной поверхности. Однако от-
сутствие аналога интеграла Зоммерфельда для такой поверхности (а точнее,
невозможность сформулировать простую функциональную задачу), привело к
Введение 5
тому, что для полосы аналога формулы Зоммерфельда не существует.
Следующая волна интереса к задаче о полосе связана с развитием метода
Винера-Хопфа [6, 7]. С помощью этого метода решение задачи о полуплоскости
получается элементарными средствами, а обобщение этого решения на случай
полосы наталкивается на существенные трудности. В данном случае эти труд-
ности связаны с появлением в уравнении неизвестной целой функции. К такой
задаче может быть применен только приближенный метод Винера-Хопфа.
Таким образом, исследовательский интерес к данной задаче, по-видимому,
основан на предположении о существовании простых решений, сходных с ре-
шениями задачи о полуплоскости, полученными методом Зоммерфельда или
методом Винера-Хопфа. Настоящая работа отвечает на вопрос о существова-
нии таких решений.
К сожалению, простой формулы для диаграммы направленности или для по-
ля получить не удалось. Задача о полосе (как и родственные ей более сложные
задачи) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с рацио-
нальными коэффициентами, известными с точностью до нескольких констант.
Неизвестные константы должны определяться (численно) из ограничений на
матрицы связи. Данный результат является основным результатом диссерта-
ции.
Сказанное выше относилось к математической мотивации работы. Суще-
ствует также физическая мотивация. Система отрезков, рассматриваемая в ра-
боте, моделирует конечную дифракционную решетку с идеальными граничны-
ми условиями. При этом может рассматриваться как рассеяние акустической
волны, так и электромагнитной волны определенной поляризации. Важно то,
что методы, используемые в работе, не накладывают ограничений на частоту
падающей волны, т. е. они пригодны для описания наиболее сложной ситуации,
когда длина волны сравнима с характерными размерами препятствия.
Предложенные методы потенциально дают значительный выигрыш в скоро-
сти вычислений по сравнению со стандартными (например, с методом гранич-
ных интегральных уравнений). Однако новые медоды значительно сложнее в
реализации. Поэтому применение новых методов целесообразно в тех случаях,
когда традиционные методы требуют слишком большого времени выполнения
даже на современных вычислительных машинах. К таким задачам относят-
ся задачи дифракции на конусах, например задача о дифракции на плоском
конусе. Традиционный способ решения таких задач заключается в отделении
радиальной координаты и решении семейства задач для оператора Лапласа-
Бельтрами на единичной сфере. Семейство индексируется константой разделе-
ния, которая пробегает по некоторому контуру в комплексной плоскости. Зна-
чение дифракционного коэффициента для одной пары направлений падения
и излучения вычисляется в результате интегрирования по этому контуру. На
Введение 6
практике на контуре выбирается конечное (но достаточно большое) количество
узловых точек, для каждой из точек решается задача на сфере (в общем слу-
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
