Методические основы цифрового управления (стр. 2 )

Подставив значения в (3), получим

    (5) 

Следовательно, спектр ряда (1) аппроксимирующего процесс, заданный 2N + 1 последовательными отсчетами, является сочетанием  (2I + 1) векторов (комплексных амплитуд)  В их числе I пар комплексно-сопряженных векторов. Сумма всех векторов спектра равна значению аппроксимирующей функции в нулевой момент времени d = 0, приходящийся на средний отсчет (рис. 1). 

Значение аппроксимирующего ряда в момент d является суммой векторов спектра, повернутых на угол

  .  (6)

Значения d в (1) и (6) непрерывны.

Вклады отдельных отсчетов в спектр процесса и в ряд,

представляющий исходный процесс

  Каждый из 2I + 1 векторов спектра аппроксимирующего ряда, как видно из (5), является суммой 2N + 1 комплексных величин, зависящих от величин соответствующих отсчетов. Влияние каждого отсчета сказывается на всех гармониках спектра. Вклад n-го отсчета в спектр, согласно (5), равен

    (7)

и представляет собой сочетание 2I +1 векторов с одинаковыми модулями, равными

  .

Эти векторы образуют с действительной плоскостью углы, равные

  ,

причем углы между смежными векторами равны

  .

Вклад отсчета в спектр напоминает расческу, закрученную вокруг ее спинки (рис. 2).

 

Рис. 2.  Графическое представление вклада отсчета с номером n в спектр процесса.

Если совместить нуль времени с моментом отсчета, то «векторная расческа» выпрямится, так как при этом каждый вектор повернется на угол, равный

  ,

и совместится с действительной плоскостью (рис. 3,а).

Вклад отсчета в спектр, отнесенный к моменту отсчета, будем называть «собственным спектром» отсчета, который представляет собой сочетание (2I + 1) векторов, лежащих в действительной плоскости с одинаковыми модулями, равными

  ,  (8)

где – величине n–го отсчета, (2N + 1) – число отсчетов; интервал между векторами по оси частот равен

    (9)

Вклад n-го отсчета в аппроксимирующий ряд, согласно (1), равен

  .

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством (4), получим

  .  (10)

  Из (10) следует, что вклад отсчета n в аппроксимирующий ряд (1) является периодической функцией времени, период которой в шкале равен 2N + 1, т. е. числу отсчетов в исходном массиве. Кривая пересекает нулевую линию 2I раз за период (рис. 3,б). Наибольшие значения равны

  .

Особым является случай, когда число используемых гармоник 2I + 1 равно числу отсчетов (2N +1). При этом вклад n-го отсчета в ряд равен

  .  (11)

 

Рис. 3.  Графическое представление: а) «Собственного спектра» n-го отсчета,

б) отношение вклада n-го отсчета в процесс к величине этого отсчета.

Наибольшее значение (при d = n) равно

  ,

т. е. самому отсчету, а в моменты других отсчетов значения вклада равны нулю. Следовательно, при I = N  вклады отдельных отсчетов ортогональны на узловых точках.

  Введя условия I = N  в (1) и (5) , получим известные выражения дискретного преобразования Фурье (ДПФ) [4]

    (12)

    (13)

  Выражение (12) можно представить в виде суммы вкладов всех 2N + 1 отсчетов

  ,  (14)

причем является интерполирующей функцией: соответствующая кривая проходит через все (2N + 1) заданные точки.

  Примечательно, что на один период составляющей ряда (12) с наибольшей частотой (гармоника N) приходится

    отсчетов,

Восстановление процесса дискретным рядом Фурье. Особенности ДПФ

Интерполирующая функция, полученная с помощью ДПФ, точно соответствует заданным отсчетам. В интервалах между отсчетами и за пределами ряда отсчетов могут быть ошибки. Погрешности вне отсчетов являются основным критерием при сравнении различных методов интерполяции. Для определения этих погрешностей можно, например, сначала заменить известную пробную функцию времени последовательностью отсчетов, а затем, выполнив интерполяцию и сравнив результаты ее с исходными данными (например, для середин интервалов), получить ошибки интерполяции.

  Если допустить, что реальный процесс может быть представлен линейной суммой гармонических колебаний, то такой пробной функцией может служить гармонический процесс

  ,  (15)

или в комплексном виде

  ,  (16)

где – амплитуда, – круговая частота, – начальная фаза.

  Представив непрерывно заданную функцию времени последовательностью 2N + 1 отсчетов с интервалами и перейдя к безразмерному времени , получим

 

  Определим спектр интерполирующей функции, применив (13),

  .  (17)

  Воспользовавшись тригонометрическим тождеством (4) и введя круговую частоту в соответствии с (9)

 

  (здесь – круговая частота первой гармоники), а также частоту Найквиста , получим

  .  (18)

  Здесь ,  – целое число;  .

Из (18) следует, что спектр интерполяции с помощью ДПФ гармонического процесса, заданного 2N +1 отсчетами, является суммой двух линейчатых (частных) спектров, расположенных в плоскостях, образующих с действительной плоскостью углы и (рис 4).

  Каждый частный спектр состоит из 2N +1  спектральных линий, расположенных симметрично относительно линии нулевой частоты.

  Нормированной огибающей частных спектров является функция

  ,  (19)

  где

    для плоскости ,

    для плоскости  .

  Период этой функции в шкале круговых частот равен . Наибольшее значение функция принимает в максимуме главного лепестка при и т. д. Следовательно, она четна относительно линий или в плоскости и в плоскости . За один период функция пересекает нулевую линию 2N раз.