Методические основы цифрового управления (стр. 3 )

  Рис. 4. Интерполяции с помощью ДПФ:  спектры  интерполирующего ряда  1,  исходного  процесса  2,  огибающая  спектра  3.

  Ширина главного лепестка равна удвоенному интервалу, а ширина боковых лепестков равна интервалу между гармониками спектра или частоте первой гармоники

  . 

  Следовательно, число и расположение спектральных линий, а также очертания огибающей спектра зависят только от числа исходных отсчетов и интервала между ними, расположение же огибающей  по оси частот – только от частоты анализируемого процесса, расположение плоскостей частного спектра – только от его начальной фазы.

  Сравнение спектров восстановленного и исходного процессов позволяет выявить некоторые особенности  ДПФ. Эти спектры идентичны только в случаях, когда частота исходного процесса, а, следовательно, и осевая линия главного лепестка огибающей спектра совпадает с одной из гармоник спектра ряда ДПФ. Все гармоники, кроме выделенной главным лепестком огибающей обращаются в нуль. В области времени этому соответствует кратность периодов наблюдения и исходного процесса, а, следовательно, и идеальная (без разрывов функции и ее производных) стыковка на границах основного и дополнительных периодов (рис. 1). 

  Если частота исходного процесса не совпадает ни с одной из гармоник, например, она приходится на середину интервала между двумя из них (рис. 5,б), то в главном лепестке появляются две спектральные составляющие и по одной в каждом боковом лепестке. Это явление называют  [4] растеканием спектральных составляющих (leakage) и «паразитной» амплитудной модуляцией (picket-fence effect – эффект частокола). Во временной области ему соответствует некратность периодов наблюдения и исходного процесса, следствием чего является наличие разрывов на границе основного и дополнительных периодов, проявляющихся в виде ошибок восстановления вблизи границ периода наблюдения (явление Гиббса).

Способы повышения точности восстановления ДПФ, «организуемые» в частотной области. Представление процесса рядом Котельникова.

  В зависимости от частоты исходного гармонического процесса спектры восстановленного ДПФ и исходного процессов могут полностью совпадать и существенно отличаться. Это наблюдается как в главном лепестке, где может происходить расщепление спектральной линии исходного процесса, так и в боковых лепестках спектра, где могут появиться линии, отсутствующие в спектре исходного процесса. Структура восстановленного спектра при изменении исходной частоты тоже изменяется. Полное исключение изменений, т. е. идентичность спектров исходного и восстановленного процессов, не достижимо. Поэтому целесообразно допустить некоторые изменения, обеспечив независимость (или слабую зависимость) их от частоты исходного процесса.

  Изменения структуры спектра являются следствием линейчатости спектра ДПФ (эффект частокола). Поэтому для устранения этого эффекта целесообразно использовать преобразование, обладающее сплошным спектром.

  Кроме того, необходимо более полное сосредоточение энергии в главном лепестке, т. е. необходимо уменьшить растекание спектра (leakage).

ДПФ со сплошным спектром. Конечный ряд Котельникова.  Переход к ДПФ со сплошным спектром может быть выполнен следующим образом. Первый этап перехода – неограниченное увеличение числа отсчетов. При этом интервал между линиями собственного спектра отсчета стремится к нулю

  ,

  т. е. спектр переходит в сплошной, ограниченный пределами (рис. 5,б).

   

Рис. 5. Ряд Котельникова. а) – вклад  отсчета  для ряда  Котельникова,

  б) – «собственный  спектр»  отсчета.

Спектральная плотность собственного спектра отсчета n равна

  .  (20)

Напомним, что сумма векторов «собственного спектра» отсчета n, согласно (8), равна самому отсчету .

  Вклад отсчета n в ряд, согласно (10), при неограниченном увеличении числа отсчетов и сохранении интервала между ними () переходит в

  .  (21)

  Сумма вкладов всех отсчетов равна

  .  (22)

  Перейдя к физическому времени , получим известное выражение ряда Котельникова (теоремы Котельникова) [5]:

  .  (23)

  Для того чтобы представить рядом Котельникова процесс, заданный конечным числом отсчетов 2N +1, достаточно ввести в (22) конечные пределы

  .  (24)

Этому соответствует добавление к исходным отсчетам неограниченного числа отсчетов с номерами  и  (рис. 6) и нулевыми значениями.

 

Рис. 6. Конечный ряд Котельникова. Расширение области определения.

  Таким образом, ряд Котельникова является аналогом интеграла Фурье для дискретного задания функции.

  Хотя приемы перехода от ряда Фурье к интегралу и от ДПФ к конечному ряду Котельникова (КРК) схожи, результаты их различны:

бесконечным спектром интеграла Фурье определяется процесс конечной длительности, заданный непрерывно на конечном интервале; конечным спектром КРК определяется процесс бесконечной длительности, заданный дискретно конечным числом отсчетов (в последнем нет противоречий, так как восстановленный рядом Котельникова процесс равен нулю в моменты отсчетов за пределами интервала задания (рис. 6)). 

Особенности спектра конечного ряда Котельникова. Для выявления свойств КРК восстановим пробный гармонический процесс

  .

Собственный спектр отсчета n ряда Котельникова представляет собой векторный флажок, лежащий в действительной плоскости, с протяженностью по оси частот и высотой, равной, согласно (20), спектральной плотности

  .

Подставив в (20) значение для гармонического процесса, получим собственный спектр отсчета

  ,  (25)

представленный на рис. 7 двумя векторными флажками, образующими с действительной плоскостью углы  и , высоты флажков равны .

  Вклад отсчета n в спектр гармонического процесса получается сдвигом (25) по временной оси в нулевую точку

    (26)

Сумма вкладов всех 2N +1 отсчетов, т. е. спектральная плотность КРК

.

Воспользовавшись тождеством (4), получим

  (27)

На рис. 7 это выражение представлено графически.

  Рис. 7. Спектр конечного ряда Котельникова

  Таким образом, спектр КРК имеет следующие общие со спектром ДПФ (рис.4) особенности:

нормированная огибающая частных спектров ДПФ и кривая нормированной спектральной плотности частных спектров КРК идентичны и определяются только числом исходных отсчетов и интервалом между ними. В соответствии с (19) имеем

  ;

максимумы огибающей спектра ДПФ и кривой спектральной плотности КРК лежат на линии частоты исходного гармонического процесса ; плоскости частных спектров ДПФ и КРК образуют с действительной плоскостью углы, равные начальной фазе исходного процесса; спектры ДПФ и КРК ограничены пределами  .

  Наряду с этим спектр ДПФ дискретен, а спектр КРК непрерывен, хотя степень растекания спектра, зависящая от ширины главного лепестка

  ,  (28)

одинакова как для ДПФ, так и для КРК. Спектру КРК всегда присуще растекание, спектр же ДПФ при некоторых значениях исходной частоты идентичен исходному спектру, т. е. не растекается по всем боковым лепесткам.