Методические основы цифрового управления (стр. 4 )

  Следовательно, структура спектра КРК в меньшей степени зависит от исходной частоты. Однако некоторая зависимость спектра КРК от исходной частоты все же имеется. В этом случае эффект частокола сменяется эффектом «окна», вызывающим асимметричность огибающей частного спектра относительно линии исходной частоты. Если последняя равна нулю (), то «окном» с границами выделяется симметричная относительно линии часть огибающей спектра. Если исходная частота отлична от нуля, то ее линия смещена с центра «окна», и «окно» выделяет несимметричный относительно исходной частоты частный спектр (рис. 8,б).

  При неограниченном увеличении числа исходных отсчетов спектр ряда Котельникова  обращается в спектральную линию исходного процесса с модулем, равным , смещенную относительно центра «окна». Растекание спектра исчезает, исчезает также и эффект «окна», так как по обе стороны от линии исходной частоты спектр равен нулю. Растекание спектра и эффект «окна» связаны с заданием процесса в виде конечного числа равноотстоящих отсчетов, которое может трактоваться как умножение неограниченного бесконечного процесса на некоторую «выделяющую» функцию, т. е. как амплитудная модуляция.

 

Рис. 8. Эффект «окна» при восстановлении КРК гармонического  процесса  с 

круговой  частотой  заданного  2N+1  отсчетами: а) = 0 – огибающая  частного  спектра  симметрична, б) ≠ 0 – огибающая  частного  спектра  не  симметрична,

  Если выделяющая (модулирующая) функция известна, то, в принципе, становится возможным восстановление процесса на бесконечном интервале делением КРК, соответствующего исходным отсчетам, на выделяющую функцию.

  Известно из основ теоретической радиотехники [6], что амплитудная модуляция приводит к появлению в спектре боковых составляющих либо дискретных, либо сплошных, расположенных симметрично относительно линии несущей частоты . Огибающая частного спектра в шкале подобна огибающей спектра модулирующей функции. Если огибающая частного спектра несимметрична относительно линии несущей частоты, то помимо амплитудной имеет место и фазовая модуляция. Следовательно, появление эффекта «окна» приводит к тому, что становится невозможным восстановление процесса с использованием деления на выделяющую функцию. (Исключением является случай, когда = 0, т. е. процесс – постоянная величина).

  Отсюда следует, что устранение эффекта «окна» способствует повышению точности восстановления спектра исходного процесса. Подавление боковых лепестков частного спектра методами, изложенными в [9], способствует подавлению эффекта «окна».

Выводы.

Применение спектральных методов было издавна плодотворным во многих отраслях науки и техники, и особенно там, где явления по своей природе периодичны (акустика, радиотехника, и др.). Преобразование Фурье устанавливает однозначное соответствие между сигналом, определенным во временной области, и его отображением в частотной. В результате спектрального анализа облегчается построение алгоритма или устройства обработки сигнала. 

Методы спектрального анализа и синтеза аналогового радиосигнала могут быть использованы для тех же целей в случае цифрового сигнала. Гармонический анализ цифрового сигнала на основе ДПФ  позволил определить эффект, связанный с конечной выборкой цифрового сигнала.  Этот эффект назван эффектом функции окна, или эффектом окна. Выбор функции окна позволяет сформировать условия, при которых возможна амплитудная демодуляцию путем операции деления, что позволяет получить исходный процесс, как на интервале его существования, так и в области экстраполяции. При проведении операции демодуляции плодотворной оказалась идея применения функций с ограниченным спектром. Восстановление непрерывности основано на использовании ограниченных по спектру функций. Применение выделяющей функции с ограниченным спектром позволило смоделировать ситуацию разрыва функции с помощью комбинации непрерывных функций.

Идея использования оконных функций не нова. Она появилась при поиске методов борьбы с последствиями разрывов. Наиболее обстоятельно тема оконных функций рассмотрена в работе [7], когда окна используются при синтезе нерекурсивных цифровых фильтров с помощью БПФ. В настоящей работе предлагается применение окон не только для восстановления непрерывности, но и для восстановления дискретной функции. С этой целью предлагается гипотеза использования ограниченных по спектру функций. Спектр произведения двух ограниченных по спектру является симметричной функций, что следует из тригонометрического равенства

  .  (29)

Если в качестве выделяющей функции и функции состояния выбрать ограниченные по спектру функции, то функцию состояния можно определить на основе выражения (29) путем операции деления.

Хемминг не полностью учитывал эффект окна: так если результаты фильтрации разделить на восстановленную функцию окна, то фильтрация будет более эффективна (значительно подавятся колебания Гиббса). Только надо иметь в виду, что функция окна должна формироваться при условии, что степень подавления в полосе среза должна быть не менее 250 дБ, такими значениями ни фильтр Хемминга, ни другие окна [8] не обладают.

Выделяющая функция формируется с помощью полиномов Чебышева [9], функция состояния, прежде чем поступит на операцию восстановления непрерывности и экстраполяции, должна пройти предварительную цифровую обработку. Условие ограниченности спектра при восстановлении непрерывности требует ограниченности спектра функции состояния. Цель предварительной обработки заключается в том, чтобы выделить из результатов измерения функции состояния составляющую, имеющую ограниченный спектр, при этом полоса частот функции может выбираться на основе оптимального соотношения сигнал/шум. Точность восстановления зависит от полосы частот.

В работе получены методические основы восстановления непрерывности, расчета производной дискретного процесса и экстраполяции, которые могут являться и основой цифрового управления. Материалы, которые можно рассматривать, как дополнение к настоящей работе, изложены в [10-12].

Литература.

1. еория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение.

  1986.

2. овременные системы управления. – М,: Лаборатория Базовых

  Знаний, 2004. – 832с.

3. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т 1 –

  М: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 680 с.

4. Бергланд. Руководство к быстрому преобразованию Фурье. Зарубежная

  радиоэлектроника. №3, 1971. с. 52 – 72.

5  , О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи.

  Радиотехника, 1999. № 4-5. С. 42-55.

6  Гоноровский

7  , Цифровые фильтры. Советское радио. Москва, 1980г. 224 с.

8 ж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного

  преобразования Фурье //ТИИЭР. 1978. т. 66. № 1.  С. 60-90.

, Цифровая фильтрация в задачах восстановления непрерывного процесса по дискретным отсчетам. – Информационно-измерительные и управляющие системы. №3, т.8, 2010. с. 51 – 61. , Дискретизация и теорема дискретизации. // Автоматика и Телемеханика, 2006, № 12, с. 145-153.

11. , Методы экстраполяции на основе алгоритма восстановления непрерывного процесса по конечному числу равноотстоящих отсчетов. // Автоматика и Телемеханика, 2008, № 1, с. 183-189.

, Интеллектуальные информационные системы управления.// Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2009. № 12. С. 59 – 62.