Решение:
Для решения воспользуемся справедливым равенством a - b = a + b – 2b.
1 - 
+ 
- … - 
+ 
= 1 + 
+ 
+ … + 
+ 
- 2 (
+ 
+ 
+ … + 
)= = 1 + 
+ 
+ … + 
+ 
– (1 + 
+ 
+ … + 
) = 
+ 
+ … + 
+ 
.
Число слагаемых в полученной сумме четно (658 слагаемых), а сумма дробей, равностоящих от концов, равна
+ 
=
+ 
= 
, в общем виде это можно записать так
+ 
= 
, где k = 1, 2, 3, …, 329, 330.
+ 
+ … = 
.
Таким образом, после сложения всех дробей
= 
, где А – некоторое натуральное число.
p = 1979A, из этого следует, что р 
1979.
2.3. Открытая проблема
Гипотеза Эрдёша-Штрауса, сформулированная в 1948 году Палом Эрдёшем и Эрнстом Штраусом, утверждает, что для всякого целого числа n ? 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что 
= 
+ 
+ 
.
Пал Эрдёш, родившийся в 1913 году в Будапеште, Австро-Венгрия, являлся одним из знаменитых венгерских математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей.
Эрнст Штраус – немецко-американский математик еврейского происхождения, родился в 1922 году в Мюнхене, Германия, который помог найти в теории Евклида и в теории Рамсея арифметические свойства аналитических функций.
Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ? 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ? N существует разложение 
= 
+ 
+ 
.
3. Анкетирование
Среди учащихся 6-8 классов было проведено анкетирование с целью выявления знаний по теме «Аликвотные дроби».
Анкета:
Выполните действия:
+ 
= 
+ 
= 
+ 
=
Выполните обратное действие:
Представьте дробь в виде суммы двух или более дробей, числители которых равны единице.
= 
= 
=
Как называются дроби, с которыми вы выполняли действия? ___________________________________________.
Знаете ли вы дополнительное название для дробей, числители которых равняются единице? ___________________________________________.
3.1. Анализ анкетирования
В анкетровании приняли участие 38 учащихся 6-8 классов.
Только два человка правильно ответили на вопрос, что эти дроби называются аликвотными.
Заключение
Надеюсь, я правильно предугадала мысли читателей – зачем нам нужны аликвотные дроби и что мне дала эта работа?
Во-первых, я соприкоснулась с интересной страницей из истории математики, узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Их записывали при помощи определенных знаков.
Во-вторых, зная аликвотные дроби, я смогла решить более обширный класс нестандартных задач, которые встречаются в олимпиадных работах разных уровней.
В-третьих, разложение дроби на сумму аликвотных - это настоящая головоломка, которая развивает у нас сообразительность, внимательность, аккуратность.
Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, я пришла к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т. д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т. д., хотя этот процесс очень сложный. Поэтому удобнее пользоваться формулами, рассмотренными в данной работе. И, конечно, если есть открытая проблема, значит, есть к чему стремиться!
Список используемой литературы
1. «Занимательная математика». 5-11 класс. Волгоград. Учитель, 2008 год.
2. В. «Нестандартные задачи по математике» 7-11 класс. Челябинск. Взгляд, 2004 год.
3. , «Международные математические олимпиады». Москва. ДРОФА, 2006 год.
Интернет ресурсы
1. http://gigabaza. ru/doc/68674-pall. html
2. http://nsportal. ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2015/06/05
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
