Введение (стр. 2 )

Отсюда определим константу C1:

Итак, мы имеем следующее уравнение:

Умножим обе части данного уравнения на сопряженное выражение

. Получаем:

Складывая с предыдущим уравнением, находим выражение для z = y' :

       Интегрируем еще раз и получаем окончательное красивое выражение для формы цепной линии:

       Итак, цепная линия описывается гиперболическим косинусом. Ее форма однозначно определяется параметром , зависимость от которого показана на рис.1.3.

  Рис.1.3

3. Свойства цепной линии

1. Длина дуги (приложение 1) цепной линии от ее вершины до некоторой точки равна проекции ординаты этой точки на касательную, проведенную в этой точке.

Доказательство:

1.Длина s дугицепной        линии, отсчитываемой от вершины А, равна проекции ММ? ординаты РМ на касательную МТ.(рис.3)

2. S==MM?=((1)илиs = a.

3. С ординатой РМ=у дуга связана соотношение. 4. Последнее вытекает из уравнения цепной линии и (1) и

легко прочитывается из треугольника РМ?М, где РМ = у, ММ? = s и РМ? = a (по основному свойству трактрисы).

       2. Радиус кривизны(приложение 1) в произвольной точке цепной линии равен длине нормали в этой точке.

Доказательство:

1. Радиус кривизныМК = R цепной линии равен отрезку MD нормали от точки М до директрисы Х?Х и выражается формулой

R = MD =

илиR = a .

       3. Если цепная линия катится по прямой, то центр кривизны, соответствующий точке касания, перемещается по параболе.

Доказательство:

1.  Определяя площадь, ограниченную цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс, будем иметь:

.

       4. Площадь, ограничиваемая цепной линией, двумя ординатами и осью абсцисс, пропорциональна длине соответствующей дуги.

Доказательство:

1. Площадь S «криволинейной трапеции»OAMP (OA = a - ордината вершины, РМ - ордината конца М дуги s =) равна площади прямоугольника со сторонами a,  s так что

S = as = .

       5. Сумма кривизн цепной линии в точках, касательные в которых  взаимно перпендикулярны, является для каждой цепной линии величиной постоянной.

Доказательство:

1. Пусть -точки цепной линии, касательные в которых взаимно перпендикулярны. Определяя их угловые коэффициенты, имеем

2.В силу перпендикулярности касательных   (2),

но согласно S==MM?=(= a= ,

где - длины дуг, отсчитываемые от вершины цепной линии до точек Подставляя эти выражения в равенство  (2) получаем,

3. Далее, если равенство (2) привести к виду

или,

то на основании R = a будем иметь . 

       6.Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида -  поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.

4. Исследование цепной линии, заданной параметрически, методом дифференциальной геометрии

       Любая линия в дифференциальной геометрии рассматривается в пространстве, может быть задана векторным уравнение от одного скалярного аргумента, неявного уравнения вида F(x, y)=0, пересечением двух поверхностей, , полярным уравнением.