Введение (стр. 1 )

Введение

       В качестве темы исследовательской работы мной была выбрана следующая: «Цепная линия». Кривая цепная линия очень интересна для изучения, однако не так уж просто найти литературу посвященную ей.

       Исследованием этой линии занимались ученые очень давно. Однако даже в наше время она используется при решении ряда задач не только в математике, но и физике, архитектуре и многих других дисциплин. По моему мнения, данная тема является интересной и актуальной.

       Изучением цепной линии занимались такие ученые, как  Галилео Галилей, Христиан Гюйгенс, , Иоганн Бернули и др.

       Целью данной исследовательской  работы является описание основных свойств цепной линии.

       Для реализации поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Проанализировать научную и учебную литературу по теме исследования с целью выделения основных понятий и утверждений;

2. Систематизировать и обобщить материал по теме исследования с целью выделения групп свойств цепной линии;

3. Доказать необходимые утверждения в теме исследования;

4. Установить связь темы исследования и курса дифференциальной геометрии;

5. Разработать компьютерную презентацию на тему: «Цепная линия».

Основным методом исследования стал теоретический анализ 

литературы в рамках исследования;

Практическая значимость определяется возможностью использования результатов данного исследования в учебном процессе в рамках дисциплин «Геометрия» и «Дифференциальная геометрия».

1.Исторические сведение

       В книге Галилея “Беседы и математические доказательства…”, напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался, между прочим, такой способ построения параболы: “Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка её находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника. Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы(рис. 1), так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую        пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя”.[2]

  Рис.1
       Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между        нею        и цепочкой        обнаружатся        зазоры.
       Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли - Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, и младший брат Якоба - Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа        -        производной        и        интегралом.
       Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за        два        конца,        цепной        линией.
       Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга - то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.

2. Понятие цепной линии и её уравнение

Определение 1.Цепной линией называется плоская кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной в обоих концах и провисающей под действием силы тяжести.
       Цепная линия по форме напоминает параболу.

       Так считалось долгое время. В начале 17 векаГалилео Галилей высказал сомнение, что висящая цепь в действительности является параболой. Однако строгое доказательство и точный вывод были получены лишь полвека спустя ? после того, как Исаак Ньютон разработали основы математического        анализа.        

Решение задачи о цепной линии было опубликовано в 1691 году Христианам Гюйгенсом, Готфридом        Вильгельмом Лейбницем и Иоганном Бернулли.

Ниже мы рассмотрим вывод уравнения цепной линии и некоторые его вариации.        

Пусть тяжелая однородная нить подвешена в точкахА, В, которые могут находиться на разной высоте (рис.1.2).

Рассмотрим равновесие произвольного малого элемента нити длиной ?s.

На этот элемент действуют распределенная сила тяжести, где ? объемная плотность материала нити, ? ускорение свободного падения, A ? площадь поперечного сечения нити, и силы натяжения T(x) и T(x+?x), соответственно, вточках x и (x+?x).

Условия равновесия выделенного элемента длиной ?s в проекциях на оси Ox и Oy записываются в виде:

.

       Из первого уравнения видно, что горизонтальная компонента силы натяжения T(x) всегда постоянна:

.

       Переходя во втором уравнении к дифференциалам, можно записать его в виде:

.

       Поскольку , то получаем

или .

       Учтем, что , так что уравнение равновесия записывается в дифференциальном виде как

.

       Элемент длины ?s можно выразить по формуле

.

       В результате получаем дифференциальное уравнение цепной линии:

или  .

       Это уравнение допускает понижение порядка. Обозначив y' = z, представим его в виде уравнения первого порядка:

.

       Последнее уравнение решается методом разделения переменных.

.

       Здесь        мы        обозначили                через        1/a.

       Касательная к цепной линии в нижней точке параллельна оси Ox. Следовательно,