Введение (стр. 3 )

       Метод дифференциальной геометрии позволяет исследовать линию на предмет:

определение элементов сопровождающих линии трехгранника; определение кривизны и кручения; написание натурального уравнения линии; вычисление длины дуги линии;

       Удобнее метод дифференциальной геометрии применять к параметрическим уравнениям, линии которых непосредственно следует из векторного уравнения от одного скалярного аргумента.

       Исследуем цепную линию методом дифференциальной геометрии.

Для этого:

от неявного уравнения перейдем к параметрическим; определим параметризацию;

3)  найдем базисные векторы, сопровождающего трехгранника кривой;

4)  напишем уравнение элементов сопровождающего трехгранника кривой:

уравнение касательной; уравнение нормали; уравнение бинормали; уравнение соприкасающейся плоскости; уравнение нормальной плоскости; уравнение спрямляющейся плоскости;

5) найдем кривизну и кручение цепной линии в произвольной точке;

6) напишем уравнение цепной линии в естественной параметризации.

Итак, уравнение цепной линии имеет вид

  - параметрическое уравнение цепной линии.

Линия лежит в плоскостиXOY, z=0.

1.Определим, какая параметризация: естественная или произвольная.

Найдем производные по t:

.

2.Найдем векторы первой, второй и третьей производной.

3.Найдем базисные векторы сопровождающего трехгранника:

единичный вектор касательной.

0

- единичный вектор бинормали.

единичный вектор главной нормали.

4.Напишем уравнения элементов сопровождающего трехгранника:

a) Уравнение касательной (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

b) Уравнение главной нормали (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

c) Уравнение бинормали (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

e)Уравнение соприкасающейся плоскости:

(

Так как z=0, плоскость OXY - соприкасающаяся плоскость.

f) Уравнение нормальной плоскости (приложение 1)

g) Уравнение спрямляющей плоскости:

5.Найдем кривизну k(приложение 1) и кручение (приложение 1):

6.Напишем уравнение цепной линии в естественной параметризации:

Таким образом, результаты исследования свойств цепной линии методами дифференциальной геометрии позволили доказать следующие свойства цепной линии как плоской линии:

Теорема 1. Соприкасающаяся плоскость плоской линии совпадает с плоскостью линии. (см. уравнение соприкасающейся плоскости цепной линии п.4(e)).

Теорема 2. Главная нормаль плоской линии лежит в плоскости линии. (см. уравнение главной нормали цепной линии п.4(b)).

Теорема 3. Кручение плоской линии во всех точках равна нулю.(см. кручение цепной линии п.5)

Докажем теорему, обратную теореме 3.

Теорема 4. Если во всех точках гладкой линии кручение равно нулю, то линия плоская.

Доказательство:

1. Пусть в каждой точке линии ?, заданной уравнениями, ее кручение равно нулю.

2. Из последней формулы Френе следует, что где не зависит от переменной s. Тогда из тождества , отсюда или в координатах: , где , – координаты.