Введение (стр. 4 )

3. Таким образом, все точки ? лежат в плоскости, заданной уравнением . Это означает, что ? – плоская линия.

Замечание. Для плоской линии имеем х = 0, поэтому формулы Френе принимают вид:

Результаты исследования свойств цепной линии можно отобразить в чертеже.

Oxyсоприкасающаяся плоскость

нормальная плоскость

спрямляющая плоскость

5. Применение

Ворота на Запад

Неизвестно, пытался ли кто-нибудь до Гауди делать перевернутые модели будущих зданий, подвешивая грузы на нитках. Но этим способом воспользовались некоторые современные архитекторы. На берегу реки Миссисипив городе Сент-Луисе стоит импозантная арка (GatewayArch) высотой в 630 футов, что соответствует 192 м, символизирующая поворотный пункт в американской истории и географии. Сент-Луис в свое время соединил относительно обжитые земли к востоку от Миссисипи с дикими бескрайними пространствами Запада.

Эта арка была спроектирована одним из самых известных архитекторов США Эро Саариненом (Eero Saarinen, 1910–1961) в сотрудничестве с математиком и инженером Ганнскарлом Банделем (Hannskarl Bandel, 1925–1993). В каком-то смысле их судьбы схожи: и Сааринен, и Бандель родились за пределами Америки - первый в Финляндии, второй - в Германии. Потом оба пересекли океан: первый - отправляясь в 1934 году учиться, а второй - уже после войны, в поисках работы. Тут каждый из них нашел свою удачу, а оба они - друг друга.

По подсказке Банделя Сааринен выбрал для своей арки форму цепной линии, высота которой равнялась ширине у основания. Получилось красиво, хотя конструкция до какой-то степени противоречила интуиции. Ведь цепочка, будучи предоставленной сама себе, стремится занять такое положение в пространстве, чтобы ее потенциальная энергия была минимальной, то есть центр тяжести располагался предельно низко. При переворачивании низкий центр тяжести окажется высоким, а минимум энергии обернется максимумом.

Противоречие тут кажущееся. В задачу архитектора вовсе не входит достижение энергетического минимума конструкции - нужно, чтобы она была устойчивой. И хотя, безусловно, минимуму потенциальной энергии соответствует положение устойчивого равновесия, это положение не единственное. Еще одно положение равновесия соответствует максимуму потенциальной энергии, что мы и наблюдаем при перевороте цепной линии, а также при обобщении метода, использованного Гауди.

Причины равновесия можно оценить, анализируя не энергию, а распределение сил. Как известно, если удается получить информацию о силах, то картинка всегда оказывается более подробной и ясной, чем та, которую можно получить, занимаясь только энергиями. У подвешенной цепочки на каждое отдельное звено действуют три силы: сила тяжести и сила упругих деформаций со стороны двух ближайших соседей. Равновесие достигается в том случае, когда сумма всех трех сил равна нулю.

Подвижность цепочки гарантирует, что упругие силы на концах каждого звена лишь растягивают его, то есть всегда направлены по касательной к линии.

Разумеется, ничего не изменится, если вместо цепочки подвесить твердую арку той же формы: напряжения, вызываемые в ней силой тяжести, будут распределены так, что силы всегда будут действовать по касательной. 

Они будут растягивать арку, но нигде не будут пытаться ее сломать. Если теперь арку перевернуть, то опять почти ничего не изменится. Всего лишь растяжение сменится сжатием, однако действовать оно в каждой точке арки будет только по касательной. Или, что то же самое, нагрузка на поперечном сечении, проведенном в произвольной точке арки, будет перпендикулярна плоскости сечения. Особенно странно этот вывод выглядит для самой верхней точки: площадка поперечного сечения там вертикальна, и сила, действующая на нее, перпендикулярна силе тяжести.

На каждое звено цепи действует по три силы:  натяжение со стороны соседей и сила тяжести. При уменьшении размеров звена,

сила тяжести стремится к нулю, а силы натяжения к нулю не стремится, они просто становятся параллельными друг другу.

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии. Стоит заметить, что цепь подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи. [4]

Заключение

Основной целью работы была цель  изучить свойства цепной линии.

Для реализации поставленной цели было выполнено  следующее: проанализирована научная и учебная литература и выделены основные понятия и утверждения; выделены группы свойств; доказаны теоремы и утверждения в теме исследования; исследованы свойства цепной линии  методами дифференциальной геометрии.

Подводя итоги работы, можно отметить, что цель достигнута, а задачи реализованы  в соответствующих параграфах работы.

Материал, изложенный в данной работе, может быть использован как студентами в учебном процессе в рамках дисциплин «Геометрия» и «Дифференциальная геометрия», а также школьниками в учебном процессе в рамках элективных курсов по математике.

Список использованной литературы

Справочник по высшей математики.§517. М.:АСТ: Астель, 2006. Галилей Галилео. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению синьора Г. Галилея Линчео, философа и первого математика светлейшего великого Герцога Тосканского. С приложением о центрах тяжести различных тел. – Л.: Гостехизд., 1934. с. 273-274. «Замечательные кривые». М.: Наука, 1978.с.91 Кратчайшие линии. Вариационные задачи. Серия «популярные лекции по математике», выпуск 19, §19. М.-Л.: Гостехизд. 1955. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука. 1980. с. 135. Плоские кривые. М.: Госиздфиз-мат литературы. 1960.с. 213-216. , Лекции по дифференциальной геометрии. М.:Логос, 2009. , , Элементарная топология. СПГУ, 2007. , , Компьютерная геометрия. М.: Издательский центр «Академия», 2006.

Приложение 1

Определение 1.Цепной линией называется плоская кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной в обоих концах и провисающей под действием силы тяжести.

Определение 2. Касательной называется прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Определение 3.Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне. Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую. Радиус кривизны обозначается R.

Определение4.Нормальюназывается прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.).

Определение 5.Директрисой называется прямая, лежащая в плоскости конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы) и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Определение 6.Длина дуги в метрическом пространстве - числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае - неспрямляемая. Длина дуги обозначается S.

Определение 7.Кривизна - величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) в окрестности данной ее точки от касательной прямой (касательной плоскости). понятие кривизны обращается на объекты более общей природы. Кривизна обозначается .

Определение 8.Кручение, вторая кривизна, мера отклонения пространственной кривой от соприкасающейся плоскости. Кручение обозначается

Определение 9. Бинормалью называется нормаль кривой в пространстве, перпендикулярная касательной к главной нормали.

Определение 10.Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающейся плоскостью в этой точке.

Определение 11.Нормальная плоскость к кривой линии в данной ее точке - плоскость, перпендикулярная к касательной прямой, проведенной через ту же точку.

Определение 12. Спрямляющая плоскость, плоскость проходящая через касательную и бинормаль в данной точке М пространственной кривой.