Сборник понятий по теме «Алгебраические уравнения»

– учитель математики МБОУ Рождественская средняя общеобразовательная школа,

Сборник понятий по теме «Алгебраические уравнения»

  Приведённые и неприведённые уравнения -  алгебраические уравнения 

Линейные уравнения,  квадратные уравнения, уравнения n-ой степени– целые уравнения;

Рациональные уравнения, иррациональные уравнения – алгебраические уравнения;

Дробно-рациональные уравнения, целые уравнения – рациональные уравнения.

№	понятие	Содержание понятия	Объём понятия
1	Алгебраические уравнения	1.Алгебраические уравнения - уравнения вида Р(х1, ……хn)=0, где Р – многочлен от переменных х1, ……хn [12, стр.17].	По наличию радикала  Рациональные уравнения; Иррациональ-   ные   уравнения. По значению старшего коэффициента 2.1. Приведённые уравнения 2.2. Неприведённые уравнения
2.	Рациональные уравнения	1.Если Р(Х) – рациональное выражение, то уравнение Р(Х)=0, называется рациональным [2, стр.19] 2. Уравнение f(х)=g(х) называется рациональным, если f(х) и g(х) – рациональные выражения.[6, стр.141]	По наличию деления на выражение, содержащее переменную Целые уравнения; Дробные уравнения.
3.	Целые уравнения	1. Рациональное уравнение f(х)=g(х) называется целым, если f(х) и g(х) – целые выражения. [6, стр.141]	По степени Линейные уравнения; Квадратные уравнения; Уравнения n-ой степени
4.	Линейные уравнения	1.Уравнение, левая и правая часть которого есть многочлены степени не выше первой относительно х или числа.[1, стр.174]; 2.  Уравнение вида ах=в, где х – переменная, а  и в – некоторые числа [7, стр.12]; 3.Уравнение вида ах=в, где а и в – действительные числа, х – переменная, а – коэффициент при переменной, в – свободный член.[6,стр.132]; 4. Уравнение вида  а1 х1 + а2 х2, + … + аn хn=в с неизвестными х1, х2, …, хn где а1, а2,… аn называют коэффициентами, число в – свободным членом. [12, стр. 158]	Примеры: 3х =6 5 – 4х = 3х +19
5.	Квадратные уравнения	1.Уравнение вида ах2 +вх +с = 0, где а, в,с – любые действительные числа, а ?0 [9, стр.132]; 2.Алгебраическое уравнение 2-ой степени, т. е. уравнение вида ах2 +вх +с = 0, где а ?0 [12, стр.133]	По наличию коэффициентовравных нулю Полные уравнения Неполные уравнения
6.	Полные квадратные уравнения	Уравнение ах2 +вх +с = 0, у которого коэффициенты а и с отличны от нуля. [9, стр.132]	Примеры: Х2 -5х +6 = 0
7.	Неполные квадратные уравнения	Уравнение ах2 +вх +с = 0, у которого либо в = 0, либо с = 0. [9, стр.132]	Примеры: 1) 2Х2 – 7Х = 0 2) Х2 – 16 = 0 3) 5Х2 = 0
8.	Уравнения n-ой степени	1.Уравнение вида а0хn + а1хn-1+…аn-1х +аn = 0 [11, стр.90]	Примеры: 2х3+ х2+3х +6 = 0
9.	Дробные уравнения	Рациональное уравнение f(х)=g(х) называется дробным, если хотя бы одно из выражений f(х) и g(х) является дробным. [6 стр.141].	Примеры: Место для формулы. - 2 = 0
10	Иррациональные уравнения	1.Уравнение, в котором алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, находится под знаком корня. [11, стр.91]; 2. Если в уравнении переменная содержится под знаком корня [9, стр.202] 3. Уравнение, одна или обе части которого представляют собой выражения, иррациональные по отношении к переменной неизвестной х; [5, стр.158];	Примеры: = 1 - х
11	Приведённые алгебраические уравнения	Алгебраические уравнения, у которых  старший коэффициент равен единице.	Примеры: х3+ х2+3х +6 =0
12	Неприведённые алгебраические уравнения	Алгебраические уравнения, у которых  старший коэффициент  не равен единице.	Примеры: 2х3+ х2+3х +6 =0

Литература:

Алгебра.7класс: учебник для общеобразовательных организаций. Алгебра.7класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Алгебра 9. Учебник для общеобразовательных организаций./. . .  – М: Просвещение. 2014.304с. . . . . . Алгебра. Учебное пособие для IX – X классов средних школ с математической специализацией. Второе издание. Издительство «Просвещение». Москва, 1972.-303с.   Академия педагогических наук РСФСР. Институт методов обучения. Алгебра. Пособие для учителей IX – XI классов. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР. Москва, 1960. – 664с. , Математика. Справочные материалы. Кн. Для учащихся.- М: Просвещение. 1988. – 416с.

Изд.2-е. 556с.

. Алгебра.7класс: учебник для общеобразовательных учреждений./ . – М.:Вентана-Граф.2013.-288с. и Толковый математический словарь.  Основные термины: около 2500 терминов. – М.: Рус. яз. 1988. – 244с.   Алгебра.8класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений./  .- 9-е изд., стер. – М: Мнемозина, 2013. – 240с. Алгебра.9класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений./ Математика - 9-е изд., доп. – М: Мнемозина, 2013. – 272с

. . .  Шевкин  А. В..  М.: Просвещение. 2013. – 287с.        

, Справочник по математике. , Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э-68 Савин. А. П.-М: Педагогика. 1989.-352с.

  Логическая схема

       

По наличию радикала        по значению старшего  коэффициента 

       

По наличию деления на выражение,

содержащее переменную

       

По степени

По наличию

       

Алгебраические уравнения

  Карточка №1. 

Что называется алгебраическим уравнением?  Что считается уравнением? Что понимается под переменной? Что представляет область допустимых значений? Что  выражает степень переменной? Что является корнем уравнения? Что такое коэффициент уравнения? Каковы свойства и виды алгебраического уравнения? В чём заключается сущность решения алгебраического уравнения?

Карточка №2.

1.Чем объяснить, что алгебраическое уравнение является равенством?

2.Как доказать, что уравнение  2х3+ х2+3х +6 = 0 является алгебраическим уравнением?

В каком случае алгебраическое уравнение будет считаться дробно-рациональным уравнением? Когда алгебраическое уравнение является приведённым  уравнением? Каким образом рациональное уравнение отличается от иррационального уравнения?

Каким образом иррациональное уравнение можно преобразовать в рациональное уравнение?

Вследствие  чего иррациональное уравнение можно преобразовать в рациональное уравнение? Почему множество корней иррационального уравнения не всегда совпадает с множеством корней рационального уравнения, к которому оно было приведено?

Карточка №3.  (Рациональные и иррациональные уравнения)

По сравнению с рациональными уравнениями, которые не имеют радикала, иррациональные уравнения имеют радикал. Так же как и рациональные уравнения, иррациональные уравнения являются алгебраическими уравнениями. Как рациональные уравнения, так и иррациональные уравнения имеют область  допустимых значений. Сравнивая рациональные и иррациональные уравнения, можно сказать, что при их решении применяются основные равносильные преобразования уравнений. Кроме некоторых рациональных уравнений ещё и иррациональные уравнения могут иметь областью допустимых значений все действительные числа. Помимо рациональных уравнений, ещё и иррациональные уравнения используются при решении  задач. У рациональных уравнений видов больше, чем  у иррациональных уравнений. Не только рациональные уравнения, а и иррациональные уравнения  могут иметь посторонние корни. Наряду с рациональными уравнениями, иррациональные уравнения могут иметь деление на переменную. Если  решения рациональных уравнений начинают с нахождения области допустимых значений, то и иррациональные  уравнения начинают решать так же. В отличии от рациональных уравнений части которых не нужно возводить в степень при решении, иррациональные уравнения решаются способом возведения обеих частей уравнения в  n-ую степень

Карточка №4.

1.Известно, что уравнение - это равенство верное лишь при некоторых значениях, входящих в него переменных, однако существуют уравнения, множество корней которых представляют собой все действительные числа (т. е. верно при любом значении переменной).

2.Все квадратные полные уравнения имеют вид ах2 +вх +с = 0,однако уравнение Х2 - 5х +0 = 0 не является полным квадратным уравнением.

Карточка №5.

качество	количество
Алгебраические уравнения 4-ой степени	Корней не более 4. Наивысшая степень переменной 4.

содержание	форма
Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных	тождество

единство	многообразие
Целое уравнение	Линейное уравнение, квадратное уравнение, уравнение n-ой степени.

явление	сущность
уравнение	равенство с переменной

общее	частное
Иррациональное уравнение	= 1 - х

Причина	следствие
Правя часть дробно-рационального уравнения равно нулю	Числитель равен нулю

общее	особенное	единичное
уравнения	Иррациональное уравнение	= 1 - х

действительность	возможность
Алгебраическое уравнение	Рациональное уравнение Иррациональное уравнение

необходимость	случайность
Решение уравнения	Выбор способа решения

целое	часть
уравнение	правая часть, левая часть

Карточка №6.

Уравнения = 1 – х имеет радикал.

  Уравнение имеет радикал.

  Уравнения 0,2х +1 = имеет радикал.

Уравнения = 1 – х,  уравнение ,уравнения 0,2х +1 =   - иррациональные уравнения.

-----------------------------------------------------------------------------------

Иррациональные уравнения имеют радикал.

Все уравнения,  имеющие  знаменатель, содержащий переменную – дробно-рациональные уравнения.

  Уравнение - 2 = 0 имеет знаменатель, содержащий переменную.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Уравнение - 2 = 0 является дробно-рациональным уравнением.

Если знаменатель дроби равен нулю,  то данная дробь не имеет смысла.

А если знаменатель дроби не равен нулю, то данная дробь имеет смысл ( причина – следствие).

Если уравнение - 2 = 0 является дробно-рациональным уравнением, то уравнение является иррациональным (вид – род).
Аналогия свойств:

Уравнение Х2 - 5х +6 = 0 – квадратное, полное, приведённое, целое.

Уравнение Х2 - х +7= 0 – квадратное, полное, приведённое.

Следовательно, уравнение Х2 - х +7= 0  тоже является целым уравнением.