Практикум по дисциплине «Статистика» (стр. 8 )

Среднее линейное (абсолютное) отклонение

простое для несгруппированных данных

,                                        (4.4)

взвешенное для сгруппированных данных

.                                (4.5)

Дисперсия

простая для несгруппированных данных

,                                (4.6)

взвешенная для сгруппированных данных

.                        (4.7)

Можно отметить следующий недостаток этого показателя вариации – если варианты xi имеют некоторую размерность (метр, рубль, килограмм и т. д.), то дисперсия имеет размерность в квадрате, что затрудняет ее интерпретацию (например, если средняя зарплата составляет 18 тысяч рублей, то соответствующая дисперсия может составить 500 тысяч рублей в квадрате, что лишено экономического смысла).

Этого недостатка лишено среднее квадратическое отклонение

простое для несгруппированных данных

,                        (4.8)

взвешенное для сгруппированных данных

.                        (4.9)

Достоинством этого показателя вариации является то, что он выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

E Можно показать, что всегда справедливо неравенство l??.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонений являются наиболее распространенными показателями вариации.

4.2. Относительные показатели вариации

Расчет относительных показателей вариации осуществляют как отношение абсолютного показателя вариации к средней арифметической. Как правило, они рассчитываются в процентах.

Относительный размах (коэффициент осцилляции)

.                        (4.10)

Относительное квартильное расстояние

.                        (4.11)

Относительное линейное отклонение

.                                (4.12)

Коэффициент вариации

                               (4.13)

Коэффициент вариации – это наиболее распространенный относительный показатель вариации. Считается, что если v>30%, то это говорит о большой вариации признака в изучаемой совокупности

4.3. Правило сложения дисперсий

Вариация значений признака обусловлена как воздействием случайных факторов (случайная вариация), так и воздействием неслучайных факторов (систематическая вариация). Изучение вариации позволяет вскрыть сущность изучаемого явления – выявить каковы существенные факторы и оценить степень их влияния.

Для оценки влияние отдельных факторов на вариацию осуществляют группировку, разбивая изучаемую совокупность на группы, однородные по изучаемому признаку. Изучение вариации проводят путем исчисления и анализа следующих видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака, обусловленную влиянием всех факторов  (случайных и неслучайных) на данную совокупность. Может быть рассчитана по формуле простой (4.6) или взвешенной (4.7) дисперсии.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию, т. е. оценивает влияние признака-фактора, положенного в основание группировки, на вариацию изучаемого (результативного) признака.

                       (4.14)

где – групповая (частная) средняя j-й группы; – общая средняя всей совокупности; fj – частота j-й группы.

Внутригрупповые (частные) дисперсии отражают случайную вариацию, т. е. часть вариации, обусловленную влиянием других неучтенных факторов. Внутригрупповая дисперсия j-й группы вычисляется на основе отклонений отдельных значений признака внутри j-й группы от средней арифметической этой группы. В зависимости от имеющихся данных может использоваться формула простой (4.6) или взвешенной дисперсии (4.7).

Средняя из внутригрупповых дисперсий – это средняя арифметическая взвешенная из внутригрупповых дисперсий.

.                        (4.15)

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий

.                                (4.16)

Правило сложения дисперсий позволяет оценить степень влияния группировочного признака-фактора на изучаемый результативный показатель. Для оценки тесноты связи этих факторов служат коэффициент детерминации и эмпирическое (выборочное) корреляционное отношение.

Коэффициент детерминации

.                                (4.17)

Эмпирическое (выборочное) корреляционное отношение

.                                (4.18)

Коэффициент детерминации ?2 и эмпирическое корреляционное отношение ? принимают значения в диапазоне от 0 до 1. При отсутствии влияния группировочного признака-фактора на вариацию результативного показателя эти показатели равны нулю. Чем ближе значения показателя к единице, тем сильнее связь.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения ? использовать шкалу Чэддока:

?	0,1–0,3	0,3–0,5	0,5–0,7	0,7–0,9	0,9–0,99
Теснота связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Примеры решения задач

Пример 4.1. По имеющимся данным о сбыте продукции (в тыс. руб.) в различных фирмах города рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации.

87, 75, 66, 60, 87, 67, 66, 69, 89, 74, 90, 78, 99, 86, 76, 95, 69, 68, 87, 63.

Решение (см. пример 3.7).

Рассчитаем абсолютные показатели вариации.

Размах R=xmax – xmin=99–60=39.

Квартильный размах IQR=Q3 –Q1=87–67,5=19,5.

Средняя арифметическая .

Поскольку представленные данные не сгруппированы, применим невзвешенные формулы показателей вариации:

Среднее линейное отклонение

,

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Относительные показатели вариации.

Относительный размах

Относительное квартильное расстояние

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

Можно сделать вывод, что вариация признака в совокупности небольшая, совокупность можно считать однородной по данному признаку.

Пример 4.2. Произвести группировку данных примера 4.1, образовав 4 равных интервалов. По полученному интервальному ряду определить абсолютные и относительные показатели вариации.

Решение (см. пример 3.8).

В таблице приведены результаты группировки исходных данных.

Номер группы	Границы группы	Частота, fi	Середина интервала, xi
1	До 70	8	65	12,5	100	156,25	1250
2	70–80	4	75	2,5	10	6,25	25
3	80–90	3	85	7,5	22,5	56,25	168,75
4	более 90	5	95	17,5	87,5	306,25	1531,25
Итого	20	220	2975

Для расчета обобщающих показателей по результатам группировки применим взвешенные формулы средней арифметической и показателей вариации.