Учебно-исследовательская работа на тему: Магические квадраты (стр. 2 )

2.Исторически значимые магические квадраты
  Квадрат Ло Шу

Квадрат Ло Шу – важнейший инструмент Фэн-шуй. В нём скрыто множество закономерностей и взаимосвязь с окружающим пространством и временем. Понимание этих закономерностей дает ключ к пониманию законов Вселенной.

Квадрат поделён на 9 частей, каждой из которых соответствует определённое число от 1 до 9. Сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям одинакова и равна числу дней в каждом из 24-х циклов китайского солнечного года - 15. Четные и нечетные номера чередуются: причем 4 четных числа (пишутся снизу вверх по убыванию) находятся в четырех углах, а 5 нечетных чисел (пишутся снизу вверх по возрастанию) образуют крест в центре площади. Пять элементов креста отражают землю, огонь, металл, воду и лес. Земля 1 (или вода) находится снизу, огонь 9 (или небо) – сверху. Сумма любых разделенных центром двух чисел равна числу Хо Ти, т. е. десяти. Не исключено, что современное изображение цифры 5 многим обязано китайскому символу двуединственности Инь и Ян.

Ло Шу тесно связан с символом Багуа. Каждому квадрату, кроме числа, соответствует компасное направление, триграмма, стихия и т. д.

Квадрат Ло Шу используется для деления жилого пространства на сектора, для анализа влияния Летящих звёзд, для составления натальной карты дома, используется в нумерологии для предсказания предстоящих событий, характеристики человека и выработки рекомендаций для достижения успеха и т. д.

  Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В 13 веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причём последний оказался почти ассоциативным (в нём две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37).

  Квадрат Альбрехта Дюрера

В начале XVI века знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на заднем плане своей знаменитой гравюры «Меланхолия». Причём дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Кроме одинаковой суммы, получаемой от сложения чисел, расположенных на каждой прямой горизонтали, вертикали или диагонали, также в круге, захватывающем угловые клетки квадрата, это же числовая сумма (34) получается во всех четырёх угловых квадратах (2х2) и в центральном – тоже 34. Если сложить четыре числа, полученные ходом шахматного коня – будет 34. Если складывать угловые прямоугольники (из двух клеток) с диагонально противоположными угловыми прямоугольниками – будет 34. Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17.

В квадрате Дюрера нет хаоса. Цифры располагаются не только в строгой математической последовательности, но и в строгой симметрии. Квадрат как бы синтезирует математическую закономерность, геометрическую упорядоченность и "логическую" связь элементов.

  Квадраты Генри  Э. Дьюдени и Аллана  У. Джонсона – мл.

Если в квадратную матрицу n?n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат – нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Эрнеста Дьюдени); второй (размером 4?4) – квадрат Тейлора Джонсона.

Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.

  Семь планетарных магических квадратов

Магические квадраты принято считать математическим выражением влияния соответствующей планеты и соответствующей каббалистической сефиры.

Известный  немецкий  гуманист  Корнелий  Генрих Агриппа (1486-1535) построил магические квадраты порядков 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — он связал их с семью астрологическими «планетами» — Сатурном, Юпитером, Солнцем, Венерой, Марсом, Меркурием, и Луной.

  3.Теоретический материал.
  Формула магической суммы

Для каждого числа n, где n – порядок магического квадрата, значение магической суммы S можно определить по формуле, которую легко вывести.

Во-первых: сумма чисел в каждой строке равна S, а строк всего n, значит, сумма всех чисел магического квадрата равна n?S. Во-вторых: последовательность чисел от 1 до представляет собой арифметическую прогрессию.

Магический квадрат второго  порядка не существует

В этом легко убедиться испытанием. Учитывая симметрию квадрата, абсолютно безразлично, в какой из четырёх углов мы поставим 1,допустим в левый нижний угол. В расположении чисел по одной диагонали возможны три варианта:

Какое бы теперь число мы ни поставили в левый верхний угол, суммы чисел в первой строке и в первом столбце будут разными.

Вывод: магический квадрат второго порядка не существует.

Существует только один магический квадрат 3-го порядка

Представим квадрат 3?3 в общем виде и выясним, какими могут быть эти девять чисел.

Из формулы магической суммы следует, что при n=3,S=15.Просуммируем числа второй строки, второго столбца и обеих диагоналей. В эту сумму каждое число, кроме входит по одному разу, а число - четыре раза.

=4S=60

Перегруппируем слагаемые:

1+2+3+4…+9+3

3=15,  =5.

Однозначно в центре может стоять только число 5.

Число 9 не может стоять в углу. Если, например, =9,тогда = 1

(=9+5+=15).

Квадрат примет вид:

9+=15,=6,<6 и <6

9++15,+=6,<6 и <6

Но у нас осталось только три числа меньше шести:2,3,4.Получили противоречие. Следовательно, число 9 должно находиться в середине строки или столбца (но не в центре квадрата, там уже стоит число 5).

Число 7 не может стоять в одной строке с числом 9,так как тогда сумма чисел этой строки больше 15.Число 7 не может стоять в одной строке с числом 1,так как тогда третье число в этой строке должно быть также семёркой. Выходит, что число 7 не может стоять в углу и автоматически определяет противолежащее число, это будет число 3.

Осталось определить на свои места числа 2,4,6,8.Из них в одной строке с 9 могут стоять 2 и 4,а в одной строке с 1-6 и 8.

Кроме того, число 8 не может стоять в одном столбце с числом 7,так как 8+7 уже равно 15.Значит =6,=8,=2,=4.