Учебно-исследовательская работа на тему: Магические квадраты (стр. 6 )

Сформулировав задачу, Эйлер не смог найти её решение, но он доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечётных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4.В частности он решил подобную задачу для 25 офицеров пяти рангов и пяти родов войск.

Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, т.е. если число n при делении на 4 даёт в остатке 2,ортогональных квадратов не существует.

Для n=2 в первой клетке может стоять 1 или 2 и этим определены все остальные клетки. Разных вариантов получается только два, но они не ортогональны.

В 1901 году французским математиком Гастоном Тарри было доказано, что ортогональных квадратов размером 6?6 не существует. Доказательство было проведено очень трудоёмким методом полной индукции, т. е. перебором всех возможных вариантов и пар квадратов.

Следующий неизученный случай n=10 оказался уже слишком сложным для такого исследования и находился за пределами возможностей даже появившихся к тому времени ЭВМ. В 1959 году машина SWAC, проработав 100 часов, не нашла ни одной пары ортогональных квадратов 10-го порядка, но в том же году группе математиков удалось составить греко-латинский квадрат 10-го порядка и тем самым через 177

лет опровергнуть гипотезу Эйлера. Далее процесс пошёл быстрее, да и скорости ЭВМ

возрастали день ото дня, и вскоре были найдены греко-латинские квадраты 14,18,22 порядка.

Квадромагичечкий числовой квадрат

Показанный на рисунке квадрат 4-го порядка не является магическим в обычном  понимании этого слова, т. к. суммы чисел по строчкам и столбцам получаются разные.

Если же посчитать суммы четырёх чисел в любом выделенном из него квадратике 2?2 (назовём его подквадрат 2-го порядка), то получим одно значение равное 34.

Определение: числовой квадрат n-го порядка (n>2) называется квадромагическим, если сумма четырёх чисел в любом его подквадрате 2-го порядка одна и та же.

Не трудно установить, что у квадрата n-го порядка можно выделить подквадратов 2-го порядка.

Построить квадромагический квадрат очень просто. Расставим числа от 1 до по порядку в клетках квадрата, предварительно закрашенных в шахматном порядке. Числа, стоящие на закрашенных клетках, оставим на своих местах, а каждое, из стоящих на белых клетках, поменяем местами с центрально симметричным ему числом. Вот и всё! Получается квадромагический квадрат, причём этот метод универсален и применим для построения квадромагического квадрата любого порядка.

Общая формула для магической суммы квадрата n-го порядка:

S=a+b+c+d=a+-a+-d+2=2(+1).
  Мультипликативные магические квадраты

Определение: мультипликативные квадраты-квадраты, в которых натуральные неповторяющиеся числа расставлены так, что произведение чисел в каждой строке, в каждом столбце и по обеим диагоналям одинаковое.

Самый простой способ построения подобного квадрата состоит в использовании известного правила умножения степеней: при перемножении степеней с одинаковым основанием основание остаётся то же, а показатели складываются. Берём традиционный магический квадрат третьего порядка и рассматриваем его числа как показатели степени некоторого основания, например, числа 2.

В результате образуется квадрат с одинаковыми произведениями.

Постоянное произведение по всем рядам и двум диагоналям этого квадрата равно 32768.

Таким образом, любой магический квадрат с постоянной суммой можно превратить в некоторый квадрат с постоянным произведением.

Усовершенствуя этот способ построения мультипликативного магического квадрата, можно построить подобный квадрат из членов произвольной геометрической прогрессии, определяемой двумя числами a и q, где a-первый член геометрической прогрессии, q-её знаменатель.

Расставляем члены прогрессии a, aq, в сетку квадрата по методу Баше.

Получается магический квадрат с

постоянным произведением P=

Ещё одна схема построения квадрата получается почленным слиянием двух исходных квадратов с разным основанием степеней.

Постоянное произведение P=

Заменяя a=2,b=3,получим квадрат с произведением 216.