Учебно-исследовательская работа на тему: Магические квадраты (стр. 5 )

Натуральный ряд чисел – это строгий порядок, магический квадрат – это чёткая закономерность.

Последовательные числа натурального ряда, являются арифметической прогрессией с первым членом, равным единице и разностью равной единице. Обобщая, легко доказать, что магический квадрат, например, третьего порядка можно составить из 9 порядковых членов любой арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d, т.е. фактически построить его исходя первоначально из двух чисел (a, d).Магическая сумма в этом случае определяется по формуле S=3(a+4d).Расставить члены прогрессии по клеткам квадрата можно по методу Баше. Возьмём, для примера, a=5, d=2, соответствующий ряд чисел 5,7,9,11,13,15,17,19,21, образует следующий магический квадрат.

А можно ли составить магический квадрат из чисел, не являющихся членами одной арифметической прогрессии?

Наиболее общее утверждение о существовании магического квадрата третьего порядка из непоследовательных чисел звучит так: для существования магического квадрата из 9 попарно  различных чисел необходимо и достаточно, чтобы данные числа имели вид: a, a+n, a+2n, a+d, a+n+d, a+2n+d, a+2d, a+n+2d, a+2n+2d.

Показанный квадрат однозначно определяется тремя числами. Можно записать его несколько иначе, если исходить из заранее заданной магической суммы.

Магический квадрат третьего порядка можно составить с любой, заданной магической суммой, при условии, что это число делится на три. Если магическая сумма равна 3,то квадрат однозначно  определяется тремя числами a, b,n, причём числа a и b

вы выбираете сами. Клетки квадрата заполняются в  соответствии с формулами.
  Магические квадраты из простых чисел

Определение: натуральное число называется простым, если оно делится только на единицу и само на себя.

Первый магический квадрат не из последовательных чисел, а только из простых чисел встречается в книгах известных мастеров головоломок Сэма Ллойда и Генри Дьюдени. Кто из них был первым, вопрос спорный и для нас не главный.

Магическая сумма равна 111, с меньшей суммой из простых чисел магического квадрата нет. Однако простые числа в квадрате не последовательные.

В показанном далее квадрате четвёртого порядка пропущены простые числа 43,59,61,67.

Возникает вопрос: можно ли построить магический квадрат из последовательных нечётных простых чисел?

В 1913 году Дж. Н.Манси составил квадраты из простых чисел 5-го,6-го,…,12-го порядка и только в последнем добился, чтобы простые числа шли без пробелов в их ряду.

Манси доказал, что наименьший магический квадрат из последовательных простых чисел должен иметь порядок 12.

Вот этот магический квадрат, составленный из 144 первых простых нечётных чисел. S=4514.

Все, показанные здесь магические квадраты из простых чисел, имеют существенный математический недостаток – в них входит единица, которая, строго говоря, не является простым числом. Это побуждает математиков продолжать поиски более совершенных вариантов.

В настоящее время найдено более 100 арифметических прогрессий из 9 и более простых чисел. Из членов каждой такой прогрессии можно составить магический квадрат, например:

Здесь =199,d=210,сумма трёх чисел по всем направлениям равна 3177.

В 1969 году математик S. C.Root (США) нашёл арифметическую прогрессию из 16 простых чисел, первый член которой d=223 092 870.

Получается следующий квадрат с суммой 15 637 321 864.
  Двойные и тройные магические квадраты

Для некоторых значений n, не меньше восьми, можно построить такой магический квадрат n-го порядка, что если числа в каждой его клетке заменить их квадратами, то получившийся в результате квадрат также будет магическим. Такие магические квадраты называют двойными.

Здесь показан двойной магический совершенный квадрат восьмого порядка с магической суммой 260,а магическая сумма квадратов этих чисел будет равна 11180.

Исследователи искали также такие магические квадраты, которые оставались бы магическими при замене исходных чисел, как их квадратами, так и их кубами. Такие магические квадраты называют тройными. Наименьший из известных тройных магических квадратов имеет порядок 32.

  Латинские квадраты
Определение: латинским квадратом называется квадратная таблица, состоящая из n различных чисел, всех по n раз, расположенных так, что в каждой строке и в каждом столбце каждое число встречается только один раз.

Отсюда следует вывод, что в латинском квадрате суммы по строкам и столбцам равные, а по диагоналям не обязательно такие же.

Определение: латинский квадрат называется диагональным, если все элементы каждой диагонали попарно различны (так же, как элементы каждой строки и каждого столбца).
  Составление

Изучение латинских квадратов много занимался великий математик Леонард Эйлер (1707-1783),который дал им это название. Решая задачи в общем виде, он вместо конкретных чисел писал в клетках квадрата латинские буквы.

Составить латинский квадрат гораздо проще, чем магический. В первой строке выписываем числа в порядке возрастания, во второй – со сдвигом вправо на одно место, возвращая последнее число на первое место в строке и т. д. Получится самый

примитивный латинский квадрат.

Этим методом мы получаем простой, не диагональный латинский квадрат, один из великого множества. Есть более изощрённый способ составления латинского квадрата для значений n=p-1,где простое число, т. е. N=4,6,10,12,16 и т. д.

Пронумеруем строки квадрата сверху вниз и столбцы слева направо числами от 1 до n. На пересечении строки с номером a и столбца с номером b поставим остаток произведения ab на p. Так как номера строк и столбцов положительные числа, не делящиеся на p, то в клетках будет стоять числа от 1 до n. Докажем, что в каждой строке стоят разные числа.

Доказательство ведём методом от противного: пусть в строке a стоят два равных числа, например, в столбцах c и e, это означает, что числа ac и ae имеют равные остатки при делении на p и их разность a(c-e) делится на p. Но оба сомножителя отличны  от нуля и по абсолютной величине меньше p. Следовательно, получили противоречие p-простое число и делимость не может иметь место. Доказательство для столбцов повторяется слово в слово.

Второй метод дал нам снова не диагональный квадрат.

Третий алгоритм составления латинских квадратов. Пусть n-произвольное натуральное число, не имеющее общих c n делителей, больших единицы. Поместим на пересечении строки с номером a и столбца с номером b остаток от деления на n числа ak+b. Если остаток равен 0, то в соответствующую клетку поместим число n.

Доказательство, что подобным методом будет построен латинский квадрат аналогично предыдущему. На этот раз повезло, квадрат оказался диагональным.

  Общее число латинских квадратов

Введя определение и рассмотрев примеры построения латинских квадратов, уместно поставить вопрос об их количестве в зависимости от порядка.

Существует два латинских квадрата второго порядка. Причём они симметричны

как сиамские близнецы.

Для определения количества квадратов третьего порядка, сначала построим один специфический, з которого все остальные получаются перестановками строк и столбцов. Впишем числа 1,2,3 в порядке возрастания в первую строчку и в первый столбик, заполнение оставшихся четырёх клеток происходит однозначно. Из полученного квадрата перестановкой столбцов получается 6 различных расположений цифр, и при каждом расположении столбцов перестановкой второй и третьей строк – ещё две модификации. Итак, существует всего 6?2=12 различных латинских квадратов 3-го порядка.

Если для квадрата 4-го порядка мы выпишем цифры по аналогии в первую строчку и в первый столбец в порядке возрастания, то остальные клетки заполнить однозначно уже не удаётся, получается четыре различных варианта.

Четыре столбца можно переставить между собой 24 способами, а при фиксированном расположении столбцов вторую, третью и четвёртую строчки можно переставить 6 способами. Поэтому, начиная с каждого показанного размещения можно получить 144 латинских квадрата, а всего латинских квадратов четвёртого порядка насчитывается 576.

Количество латинских квадратов быстро растёт с увеличением порядка. Известно, что существует не менее n!(n-1)!(n-2)!...2!1! Латинских квадратов размером n?n.
  Особенности

На следующем рисунке показаны два латинских квадрата 4?4,обладающие интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными.

Перейдём от конкретных чисел к буквам. Шестнадцать клеток в одном квадрате заполним латинскими буквами a, b,c, d так, чтобы получился латинский квадрат, а клетки второго квадрата заполним греческими буквами ?, ?,?, ?.

Если наложить квадраты друг на друга, то получится, что каждая латинская буква появляется один и только один раз в паре с каждой греческой буквой.

Два или более латинских квадратов, которые можно так попарно скомбинировать друг с другом, называются ортогональными, а получившийся комбинированный квадрат принято называть греко-латинским.
  Греко-латинские квадраты

Определение: квадратная таблица, в каждой ячейке которой расположены различные пары чисел так, что первые и вторые компоненты этих пар образуют в отдельности латинские квадраты, называется греко-латинским квадратом.

Таким образом, для получения греко-латинского квадрата нужно составить два латинских ортогональных квадрата и наложить их друг на друга. Вся трудность заключена именно в поиске ортогональных латинских квадратов.

В последние годы жизни Леонард Эйлер написал обширное «Исследование магических квадратов нового типа». Он впервые поставил задачу отыскания ортогональных латинских квадратов в следующей формулировке.

«Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6?6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов и всех родов войск?»