Учебно-исследовательская работа на тему: Магические квадраты (стр. 4 )

4)Возьмём числа в клетках каждого из m-1 правых крайних столбцов квадрата C и поменяем их местами с соответствующими  числами квадрата D.
 

  Метод окаймления магических квадратов

Этот метод построения магических квадратов произвольного порядка придумал Френикл. Для построения магического квадрата n-го порядка, сначала строят, тем или иным способом, магический квадрат (n-2)-го порядка. Затем добавляют к каждому его числу некоторое целое число m, вычисляемое по определённой формуле и, наконец, окаймляют полученный квадрат рамкой из оставшихся чисел, причём так, чтобы квадрат, к которому мы в результате придём, был магическим.

Этим способом из квадрата 3-го порядка можно последовательно получить магические квадраты 5-го,7-го, и т. д. порядков, т. е. квадраты любого нечётного порядка. Подобным образом из квадрата 4-го порядка можно последовательно получить все квадраты чётного порядка.

Рассмотрим конкретный пример. Возьмём за основу единственный магический квадрат третьего порядка и построим магический квадрат 5-го порядка, а затем 7-го порядка.

N=5>n-2=3> = [(+1?n-2)/2] ==15

Вычислим по формуле m=2n-2=8.

Добавим к каждому числу этого квадрата m=8,тогда сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали станет равной =(+1)(n-2)/2=39. Из чисел ряда (1,…,25) остались 1,2,3,…,8 и дополнительные к ним 25,24,…,18

(1,2,…,2n-2 и ,-1,…,-2n+3).

Эти числа размещают в 4(n-1)=16 граничных таким образом, чтобы дополнительные числа стояли на противоположных концах каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали – это позволяет обеспечить равенство суммы =(+1)n/2 чисел вдоль каждого направления. Остаётся только добиться, чтобы сумма чисел и вдоль каждой из граничных линий была равна той же самой величине, но такое их расположение легко получить простым перебором. Хотя для расположения чисел в граничных клетках были предложены различные правила, попробуйте увидеть их сами из приведённых примеров.

Продолжим для n=7,2n-2=12.

  Синтетический метод Ф. де ла Ира

де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. Построим с помощью этого метода квадрат 5-го порядка. В клетки первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0,5,10,15,20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз.

Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов чётного порядка.

  Симметрические квадраты

Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n, то можно построить квадрат порядка m?n. Суть этого способа показа на рисунке.

Здесь m=3 и n=3.Исходный квадрат 3-го порядка строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1‘ (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9,также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2‘ (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18;в клетку с числом 3‘- квадрат из чисел от 19 до 27 и т. д. В результате мы получили квадрат 9-го порядка. Такие магические квадраты называются составными.

  Узоры магических линий

Американский архитектор рэгдон  обнаружил, что, соединив в порядке возрастания чисел центры клеток магического квадрата ломаной линией, в большинстве случаев получится изящный узор. Для квадратов больших порядков можно соединить клетки только с чётными или только с нечётными. Вот примеры подобных орнаментов из магических линий. Интересный узор можно получить, если

соединять линиями (не обязательно прямыми) все группы чисел, образующих при сложении магическую сумму.

Приложение

Разнообразие магических квадратов.
Симметрические квадраты

Определение. Если в магическом квадрате n-го порядка сумма двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата постоянна и равна +1,то он называется симметрическим (или связанным).

Симметрическими будут все квадраты, построенные по методу А. де ла Лубера и все квадраты порядка двойной чётности, построенные по диагональному методу. Вместе с тем доказано, что симметрических магических квадратов порядка  простой чётности (n=6;10;14…) не существует.

Таковым является квадрат 4-го порядка, изображённый на гравюре «Меланхолия»

немецкого художника Альбрехта Дюрера.

16+1=10+7=6+11=4+13=+1

Дополнительное условие позволяет выделить в квадрате много групп из четырёх чисел помимо строк, столбцов и главных диагоналей, сумма которых также равна магической постоянной квадрата 34. Таковы, например, четыре числа, расположенные в вершинах всего квадрата (16+13+1+4),четыре числа в вершинах каждого квадрата 3-го порядка (16+2+7+9, 3+13+12+6, 5+11+14+4, 10+8+1+15) и четыре числа в каждом из маленьких квадратов 2?2, расположенных в углах большого квадрата (16+3+10+5, 2+13+8+11, 9+6+15+4, 7+12+1+14).

  Совершенные квадраты

Определение: магический квадрат называется совершенным, если условие равенства сумм кроме обычных двух диагоналей квадрата дополнительно распространяется на распадающиеся на части или «ломаные» диагонали (диагонали, образующиеся  при сворачивании квадрата в тор).

Магический квадрат не теряет своего «совершенства», если над ним производить следующие преобразования:

Поворот на 90°,180°,270°; Отражение; Перестановку строки сверху вниз и наоборот; 

Зачёркивание столбца справа или слева и переписывая его с противоположной стороны и

Особую перестановку клеток, схема  которой расположена ниже. 

Путём одного горизонтального разреза и одного вертикального разреза и описанного переноса любой элемент квадрата можно поместить в любую заранее заданную клетку.

Единственный магический квадрат третьего порядка не совершенный, а из 880 магических квадратов четвёртого порядка совершенных – 48.Известно также, что совершенных магических квадратов пятого порядка 3600 и более 6,5 миллиардов совершенных квадратов восьмого порядка. Совершенных квадратов порядка простой чётности (n=6;10;14…) не существует.

  Развлечения Бенджамина Франклина

Составлением магических фигур, причём не только квадратов, увлекался в свободное время американский общественный деятель, дипломат, учёный Бенджамин Франклин (1706-1790).Ему принадлежит интересные находки в этой области. Приведём для примера два его достижения в области «квадратостроения»: 8-го и 16-го порядка.

Магическая сумма этого квадрата равна 260,но он обладает рядом дополнительных свойств:

Сумма чисел в каждой половине любой строки и в каждой половине любого столбца равняется 130,что составляет половину магической суммы. Четыре числа, стоящие в углах, в сумме с четырьмя числами, стоящими в центре квадрата, дают 260. Если разбить данный квадрат 8?8 на квадратики 2?2,то в каждом из них сумма чисел будет равна 130. В любом прямоугольнике 2?4 сумма чисел равна 260. Сумма чисел по наклонному ряду, идущему от числа 16 вправо-вверх до числа 10,а далее по наклонному ряду, идущему от числа 23 вправо-вниз до числа 17 равна 260.То же самое верно для каждого ряда из восьми чисел, параллельного описанному. Это свойство сохраняется для таких же ломанных, построенных от любой из трёх оставшихся сторон квадрата.

Ещё более удивителен квадрат 16?16,который Франклин составил за один вечер.

Магическая сумма равна 2056.Если вырезать в листе бумаги квадратное отверстие 4?4 и наложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 чисел большого квадрата и попали в прорезь, то сумма этих чисел будет одна и та же, равная 2056,куда бы мы ни передвигали наш лист с прорезью по большому квадрату. Этому же значению равны суммы вдоль ломанных, как и в квадрате 8-го порядка, от 64 до 52 вверх-вправо и от 77 вниз-вправо до 65,а также по ломанным параллельным этой и полученным из них поворотами на 90°,180,°270°.

  Магические квадраты из непоследовательных чисел

Классические магические квадраты строятся для последовательных чисел от 1 до также квадрат, построенный из любых других чисел, если только сохраняется равенство сумм по строкам, столбцам и двум главным диагоналям.