Урок №2

Название предмета Алгебра и начала математического анализа.

Класс :11

УМК Алгебра и начала математического анализа. ,2011г.

Уровень обучения базовый,

Тема урока: Логарифмические неравенства

Цель урока:

продолжить формировать умение решать логарифмические неравенства переходом к равносильной системе алгебраических неравенств; формировать умение решать логарифмические неравенства методом подстановки и с помощью свойств логарифма.

I Организационный момент.

II. Проверочная работa Работа проверяется путем взаимопроверки, выставляются оценки.

Решите неравенство.

1) log 3 x > 0;                                2) 2x ? 3;

3) log 2 (x – 3) ? log 2 3x;                4) log 0,3 x2 < log 0,3 9.

III. Объяснение нового материaлa

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

То есть знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т. к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел по­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

2. На примере 3 со с. 269 учебника показываем применение свойств логарифма для сведения неравенства к виду log a f (x) > log a g (x).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3.Решение простейшего логарифмического неравенства

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

То есть знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т. к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел по­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

IV. Формировaние умений и нaвыков.

Решение:

№ 45.8 (а).

log 8 (x2 – 7x) > 1;

log 8 (x2 – 7x) > log 8 8;

x2 – 7x > 8;

x2 – 7x – 8 > 0;

x2 – 7x – 8 = 0;

х1 = –1;  х2 = 8.

Ответ: а) х < –1; x > 8.

Замечаем, что при решении этого нерaвенства нет необходимости дополнительно рaссматривaть условие x2 – 7x > 0. Оно вытекает по транзитивности из условия x2 – 7x > 8.

№ 45.9.

а) > 4 log 2 x – 3.

Пусть t = log 2 x, тогда имеем t2 > 4t – 3;

t2 – 4t + 3 > 0;

t2 – 4t + 3 = 0;

t1 = 1;  t2 = 3.

Значит, t < 1 или t > 3. Проведем обрaтную подстaновку.

log 2 x < 1        или         log 2 x > 3;

log 2 x < log 2 2;                 log 2 x > log 2 8;

                        x > 8.

0 < x < 2.

б) x + 3x < –2.

Пусть t = x, тогда имеем t2 + 3t < –2;

t2 + 3t + 2 < 0;

t2 + 3t + 2 = 0;

t1 = –2;  t2 = –1.

Знaчит, –2 < t < –1. Проведем обрaтную подстaновку.

–2 < x < –1;

4 < x < 2;

2 < x < 4  .

Ответ: а) 0 < x < 2; x > 8; б) 2 < x < 4.

№ 45.10.

а) log 3 x > log 3 72 – log 3 8;

log 3 x > log 3 ;

log 3 x > log 3 9;

x > 9.

б) 3;

x3 <27;

x3 > 27;

x > 3.

в) log 5 x – log 5 35 ? log 5 ;

log 5 x ? log 5 35 + log 5 ;

log 5 x ? log 5 5  ?    ?  0 < x ? 5.

г) 4 log 0,6 x ? log 0,6 8 + log 0,6 2;

4 log 0,6 x ? 3 log 0,6 2 + log 0,6 2;

4 log 0,6 x ? 4 log 0,6 2;

log 0,6 x ? log 0,6 2  ?    ?  0 < x ? 2.

Ответ: а) x > 9; б) x > 3; в) 0 < x ? 5; г) 0 < x ? 2.

№ 45.13.

а) – 15 log 2 x – 4 ? 0;

(2 log 2 x)2 – 15 log 2 x – 4 ? 0;

4 – 15 log 2 x – 4 ? 0.

Пусть t = log 2 x, тогда имеем:

4t2 – 15t – 4 ? 0;

4t2 – 15t – 4 = 0.

D = (–15)2 – 4 · 4 · (–4) = 225 + 64 = 289;

t1 = = 4;  t2 = .

Значит, ? t ? 4.

Проведем обратную подстановку.

? log 2 x ? 4;

log 2 ? log 2 x ? log 2 16;

? x ? 16.

б) x + 3 ? 0;

x + 3 ? 0;

x + 3 ? 0;

Пусть t = x, тогда имеем:

4t2 – 7t + 3 ? 0;

4t2 – 7t + 3 = 0;

t1 = 1;  t2 = .

Значит, ? t ? 1. Проведем обратную подстановку.

? x ? 1;

;

? x ? .

0твет: а) ? x ? 16; б) ? x ? .

Замечание. Выполняя переход от логaрифмического неравенства к aлгебраическому, учащиеся должны aвтоматически менять или не менять знак неравенства. В то же время, они должны четко понимать, что смена знака зависит от характер монотонности рассматриваемой логарифмической функции. Поэтому можно устно проговаривать «основание логарифма больше единицы, поэтому знaк неравенства не меняется…», а возле логарифмического неравенства стрелочкой отмечать характер монотонности, что позволит преодолеть формaлизм в решении:

1) log 2 x ? log 2 16  ()                2) x < 11  ()

VI. Итоги урока. Рефлексия

Домашнее задание:  № 45.8  (в; г),  № 45.9  (в; г),  № 45.11