3-й семинар, 2018 г.
«Гидростатика. Силы давления жидкости на криволинейные стенки»
1. Распределенная нагрузка, действующая на криволинейную поверхность от нормальных в каждой ее точке сил давления жидкости, может быть приведена к главному вектору и главному моменту.
2. Главный вектор определяется по трем составляющим (обычно по вертикальной и двум взаимно перпендикулярным горизонтальным составляющим), главный момент по сумме моментов этих составляющих.
3. Для криволинейных стенок, симметричных относительно вертикальной плоскости, сумма элементарных сил давления приводится к одной равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии, или к паре сил, лежащей в той же плоскости. Величина и направление суммарной равнодействующей силы Fсум определяются по двум составляющим горизонтальной Fг и вертикальной Fв, как показано на рис. 3.1.
4. Горизонтальная составляющая силы давления, воспринимаемая криволинейной стенкой, равна силе давления на вертикальную проекцию этой стенки, нормальную к плоскости симметрии, и определяется по формуле
Fг = ?ghc*Sв, (1)
где ? - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения; hc – пьезометрическая высота, расстояние по вертикали от центра тяжести вертикальной проекции стенки Sв до пьезометрической плоскости П. П.
Рис.1.Определение сил давления на криволинейную стенку. hc - пьезометрическая высота, Vb – объем тела давления, Fг – горизонтальная сила, Fв - вертикальная сила, F сум – суммарная сила давления жидкости, C –центр тяжести крышки АВ, D – центр давления, ?hD – смещение центра давления относительно центра тяжести, ? – угол между горизонтальной силой и суммарной силой Fсум
5. Линия действия силы Fг, проходя через центр давления вертикальной проекции стенки, лежит в плоскости симметрии и смещена (вниз, если Р0>Pатм, то hc > 0, или вверх, если Р0>Pатм, то hc < 0) относительно центра тяжести вертикальной проекции на расстояние
(2)
где J - момент инерции площади вертикальной проекции относительно центральной горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести проекции площади на вертикальную плоскость.
6. Вертикальная составляющая силы давления, воспринимаемая криволинейной стенкой, равна силе тяжести жидкости в объеме Vв. Этот объем ограничен стенкой, пьезометрической плоскостью и вертикальными проектирующими поверхностями, построенными на контуре стенки, определяется по формуле
Fв = ?gVв. (3)
Сила Fв, проходит через центр тяжести объема Vв, и направлена вниз, если объем строится со смоченной стороны стенки, и вверх - если объем строится с несмоченной стороны стенки(рис.2). Во втором случае (рис.2б) можно оценить силу Fв (Fа – сила Архимеда), как выталкивающую.
Рис.2. Направление линии действия вертикальной силы при смоченной (а)
и несмоченной (б) стороне стенки.
Вертикальная сила давления на криволинейную стенку определяется, как сила тяжести в «объеме тела давления», где Vт. д.= Vв.
7. Полная сила давления на стенку представляет геометрическую сумму сил Fг и Fв
. (4)
Положение горизонтальной силы давления зависит от расстояния от центра тяжести площади проекции стенки на горизонтальную плоскость до П. П., где давление равно атмосферному.
Рис.3. и направление горизонтальной силы.
8. Линия действия силы Fсум проходит через точку пересечения линий действия сил Fг и Fв.
9. Угол ? наклона равнодействующей к горизонту определяется из формулы
tg? = FВ/FГ. (5)
10. При избыточном давлении на смоченной стороне стенки горизонтальная составляющая направлена изнутри наружу. При разряжении (вакууме) на смоченной стороне стенки сила (рис.3) направлена снаружи внутрь сосуда (рис.4).
Рис.4. Действие сил давления на коническую крышку при разряжении в сосуде.
Горизонтальная сила давления жидкости
рс=?ghc= ?g(h0в+h1), Fг=рс*Sкр.
Вертикальная сила 
Суммарная сила 
При определении усилий в болтовой группе методом сечений (рис.4б) учитываем, что должно быть равновесие сил: Rб=Fсум, Rбв=Fв, Rбг=Fг.
Последовательность действий при определении силы давления жидкости на криволинейную стенку.
1. Определить давление над свободной поверхностью жидкости: Р0=Ратм, Р0>Ратм, Р0<Ратм.
2. Определить положение пьезометрической плоскости (П. П.), соответствующей атмосферному давлению. Индекс «0и» указывает, что П. П. расположена выше свободной поверхности, индекс «0в» указывает, что П. П. расположена ниже свободной поверхности и знак минус перед - h0в указывает, что над П. П. находится зона разряжения.
Р0=Ратм | Р0>Ратм | Р0<Ратм |
Расстояние от свободной поверхности до П. П. с Ратм. | ||
h =0 |
|
|
Пьезометрическая высота | ||
hc=h1 | hc=h1+h0и | h=-h0в+h1 |
3.Определить пьезометрическую высоту центра тяжести площадки, на которую определяется действие давления, относительно П. П.
4.Определить величину давления в ц. т. площадки Pc=?ghc.
5.Определить усилие, действующее на площадку по формуле
, где S – площадь площадки.
6. Определить положение линии действия равнодействующей от горизонтальной силы давления жидкости
Координата точки приложения силы
Расстояние от ц. т. до центра давления
7.Учитывать фактор, указанный в п.2. При расположении П. П. выше свободной поверхности значения hc, hd будут положительны, при расположении П. П. ниже свободной поверхности – отрицательны.
8.Определить объем жидкости, ограниченный криволинейной площадкой, образующей построенной на этой площадке и П. П. Vв.
9.Определить вертикальную составляющую Fв = ?gVв.
10.Определить положение вертикальной составляющей, проходит вертикально через ц. т. объема Vв.
11. Определить суммарную силу и ее положение 
.
Линия действия силы F проходит через точку пересечения линий действия сил Fг и Fв.
12. Угол ? наклона равнодействующей к горизонту определяется из формулы
tg? = FВ/FГ.
Если над свободной поверхностью действует давление Ро, учесть его действие.
Пример. Определить отрывающее и сдвигающее усилия в болтах и полную силу давления жидкости на полусферическую крышку радиуса R, если заданы пьезометрический напор воды H над центром крышки и угол ? наклона стенки бака к горизонту (рис. 3.6, а).
Рис.5. Определение усилия на крышку по направлению
и с использованием метода сечений.
Определим силу давления жидкости на стенку по заданному направлению (рис.5).
Отрывающее усилие Fn перпендикулярно стенке бака и составляет угол ? с вертикалью и определяется как
Fп = ?gVп Cos?,
где Vп – объем по направлению n, показанный в разрезе на рис. 3.6, б заштрихованной площадью, состоит из усеченного цилиндра и полусферы
Следовательно,
Сдвигающее усилие Ft, направлена параллельно стенке бака и составляет угол ? = 90°- ? с вертикалью:
Ft = ?gVt Cos?,
где Vt, - объем жидкости равный объему полусферы, т. к. только вес полусферы составляет сдвигающую силу
Сдвигающая сила не зависит от напора в баке.
Полная сила давления, проходящую в данном случае через центр полусферы:
Задачу можно также решить, пользуясь уравнением (3.7), рассмотрев равновесие объема жидкости, заполняющей полусферу (рис. 3.6, в).
Предварительно находим силу Fдж, с которой жидкость, действует на плоское сечение ас, и вес G выделенного полусферического объема жидкости
F = ?gH?R2
Направлена по нормали к сечению ас и проходит через его центр давления, G = ?g(2/3)?R3 , сила вертикальна и проходит через центр тяжести полусферического объема.
Проектируя найденные силы на направления отрывающего и сдвигающего усилий в соответствии с векторным уравнением
Плавание тел. При крене тело, выведенное из равновесия (рис.3.19а), поворачивается (рис.3.19б), объем водоизмещения V остается постоянным, но изменит свою первоначальную форму и центр водоизмещения В повернется относительно равновесного положения оси плавания на угол ? и займет новое положение, обозначенное B’.
Точка пересечения линии действия выталкивающей силы и повернутой оси плавания называется метацентром. Расстояние от метацентра до центра тяжести C называется метацентрической высотой Н. Расстояние от метацентра до центра водоизмещения rм = - rм =(Нм+d) называется метацентрическим радиусом.
При малых углах крена до 15° можно считать, что центр водоизмещения B-B’ перемещается по дуге окружности, описываемой из метацентра М радиусом rМ.
Рис.6. Определение метацентрической высоты. С - центр тяжести, В – центр водоизмещения, B’ – повернутое положение центра водоизмещения, G – вес, FA=?gV – выталкивающая сила, V – объем водоизмещения (вытесненный объем), d – расстояние между центром тяжести и центром водоизмещения, Н – метацентрическая высота, ? - угол крена.
Момент устойчивости плавающего тела равен
Муст=?gVSin?,
где ?gV- вес жидкости, вытесненной телом, ? - угол крена, V – объем водоизмещения.
Метацентрическая высота определяется по формуле
H=J/W-d,
где J – момент инерции площади плавания, относительно оси качания, W – объем тела, погруженного в жидкость, d - расстояние между центром тяжести теля и центром водоизмещения. Площадью плавания называется площадь поверхности по ватерлинии, где ватерлиния – линия по которой поверхность жидкости пересекается с поверхностью плавающего тела.
