Векторы. Элементы высшей алгебры

Контрольная работа №1

Векторы. Элементы высшей алгебры

1-20. Известны длины векторов и и; – угол между этими векторами.

Вычислить: 1) и,  2) .3) Найти площадь треугольника, построенного на векторах и.

Сделать чертеж.

=8, =3, =600

Решение.  Используя определение скалярного произведения векторов:

  и свойства скалярного произведения: ,

1) находим скалярный квадрат вектора: 

,

то есть, Тогда .

Рассуждая аналогично, получаем

то есть, Тогда .

.

  По определению векторного произведения: ,

с учетом того, что

,

находим

Площадь треугольника построенного на векторах и равна

(кв. ед.)

21-40. Известны координаты трех вершин A, B, D параллелограмма ABCD. Средствами векторной алгебры требуется :

Найти координаты точки C – четвертой вершины параллелограмма; Найти проекцию вектора на вектор ; Найти угол между диагоналями параллелограмма; Найти площадь параллелограмма; Найти объём пирамиды, основанием которой является , а вершина расположена в начале координат.

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Решение.

Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому координаты точки E - пересечения диагоналей - найдем как координаты середины отрезка BD. Обозначая их через xE, yE, zE получим, что

, . Получаем .

Зная координаты точки E - середины диагонали BD и координаты одного из его концов A(3;0;-7), по формулам   определяем искомые координаты вершины С параллелограмма:

Итак, вершина .

2) Чтобы найти проекцию вектора на вектор , найдем координаты этих векторов: ,

аналогично .  Проекцию вектора на вектор , находим по формуле:

3) Угол между диагоналями параллелограмма находим как угол между векторами

и   по свойству скалярного произведения:

тогда

4) Площадь параллелограмма находим как модуль векторного произведения:

,

5) Объем пирамиды находим как одну шестую модуля смешанного произведения векторов , где О(0;0;0), тогда

 

Тогда искомый объем (куб. ед.)

41-60. Даны матрицы:

,  , 

Вычислить:

В ·С-1 +3AT

Обозначения:

– обратная матрица к матрице A; – транспонированная матрица B; 3. E – единичная матрица.

Решение.

Сначала находим обратную матрицу к матрице С.

Для этого находим ее определитель:

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу С-1

Найдем алгебраические дополнения по формуле , где  —  минор элемента :

Тогда , .

Ответ: .

61–80. Решите систему линейных уравнений:

Методом Крамера;  2. Матричным методом.

       

Решение.

а)  метод Крамера

Найдем определитель системы

Так как , то система имеет единственное решение.

Найдем определители и , заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов.

По формулам Крамера:

б) матричный метод (с помощью обратной матрицы).

Данную систему запишем в матричной форме и решим с помощью обратной матрицы.

  Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных; X – матрица-столбец неизвестных x, y,z  и Н – матрица-столбец из свободных членов:

  ,  ,  .

  Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения матриц , а правую в виде матрицы Н. Следовательно имеем матричное уравнение

  .  (2)

  Так как определитель матрицы А отличен от нуля (пункт «а»), то матрица А имеет обратную матрицу . Умножим обе части равенства (2) слева на матрицу , получим

  .

Так как , где Е – единичная матрица, а , то

  .  (3)

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда обратную матрицу находим по формуле:

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А:

Отсюда  получаем обратную матрицу:

Столбец X :  X=A-1 • H

81–100. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

       

       

Решение. Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Выполняем элементарные преобразования со строками.

  Из 2-ой строки вычитаем первую строку, умноженную на 2. Из строки 3 вычитаем первую строку, умноженную на 4. Из строки 4 вычитаем первую строку, получаем матрицу:

  Далее получаем нуль в первом столбце последующих строк, для этого из второй строки вычитаем третью строку. Из третьей строки вычитаем вторую  строку, умноженную на 2. Из четвертой строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3. В результате получаем матрицу вида:

  Из четвертой строки вычитаем третью.

  Поменяем местами предпоследнюю и последнюю строки:

Последняя матрица равносильна системе уравнений:

Из последнего уравнения системы находим .

Подставляя в предпоследнее уравнение, получаем .

Из второго уравнения системы следует, что

Из первого уравнения находим х:

Ответ:

Контрольная работа №2

Аналитическая геометрия

1-20. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) длину стороны AВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;

4) уравнение высоты CD и её длину;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с

  высотой CD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ,

7) сделать чертёж.

А(3;6), В(15;-3), С(13;11)

Решение.

Расстояние d между двумя точками и определяется по  формуле

    (1) 

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты:

Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

    (2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

    (АВ). 

    (BC). 

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков.

Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых соответственно равны и вычисляется по формуле

    (3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: ; . Применяя (3), получим

; , или

4) уравнение высоты CD и её длина.

.

Расстояние от точки С до прямой АВ:

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с

  высотой CD.

середина стороны ВС:

Тогда уравнение АЕ:

Решаем систему уравнений:

Точка .

6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ:

Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент , получим

;  (KF).

Площадь параллелограмма равна 12 кв. ед., две его вершины – точкиА(-1;3) и В(-2;4). Найти две другие вершины этого параллелограмма, если известно, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс. Сделать чертёж.

Решение. Пусть точка пересечения диагоналей имеет координаты .

Тогда очевидно, что   и 

следовательно, координаты векторов .

Площадь параллелограмма находим по формуле

Тогда координаты двух других вершин .

В задачах 51-60 даны координаты точек А и В. Требуется:

Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точкиА и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс; Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы; Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы; Построить гиперболу, её асимптоты и окружность.

А(6;-2), В(-8;12).

Решение.  Уравнение искомой гиперболы в каноническом виде записывается

где a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось. Подставляя координаты точек А и В в  это уравнение найдем эти полуоси:

– уравнение гиперболы: .

Полуоси а=4,

фокусное расстояние Фокусы (-8,0) и (8,0)

Эксцентриситет

Асиптоты:

Если окружность проходит через начало координат, ее уравнение

  Подставляя один из фокусов, находим и уравнение окружности

Находим точки пересечения гиперболы и окружности:

Строим чертеж:

  В задачах 61-80 построить график функции в полярной системе координат по точкам, придавая ? значения через промежуток ?/8 (0 ??? 2?). Найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью, а полюс – с началом координат).

Решение. Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений и ?.

Номер	?, рад	?, градусы		Номер	?, рад	? градусы
1	0	0	1,000	1		202,50	2,788
2		22,50	1,026	2		2250	2,320
3		450	1,108	3		247,50	1,855
4		67,50	1,259	4		2700	1,500
5		900	1,500	5		292,50	1,259
6		112,50	1,855	6		3150	1,108
7		1350	2,320	7		337,50	1,026
8		157,50	2,788	8	2?	3600	1,000
9		1800	3,000	8	2?	3600	1,000

Строим график:

выделяя полный квадрат по переменной х,

3•(x2+2•1x + 1) -3•1 = 3(x+1)2 - 3

делаем вывод, что данное уравнение определяет эллипс:

Даны точки А, В,С, D. Требуется найти:

1. Уравнение плоскости(Q), проходящей через точкиА, В, С и проверить, лежит ли точка D в плоскости (Q);

2. Уравнение прямой (I), проходящей через точкиВ и D;

3. Угол между плоскостью (Q) и прямой (I);

4. Уравнение плоскости (Р), проходящей через точкуА перпендикулярно прямой (I);

5. Угол между плоскостями (Р) и (Q);

6. Уравнение прямой (т), проходящей через точку Ав направлении ее радиус-вектора;

7. Угол между прямыми (I) и (т).

А(9;-8;1), В(-9;4;5), С(9;-5;5), D(6;4;0)

Решение.

1. Уравнение плоскости(Q), проходящей через точки А, В, С и проверить, лежит ли точка D в плоскости (Q).

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A1A2A3 принимает вид:

 

  Разлагая определитель по элементам первой строки, получаем:

Разделив обе части уравнения на 18, получаем искомое уравнение плоскости:

 

Подставляем координаты точки D в это уравнение: 2•6+4•4-3•0+17=450

точка не принадлежит плоскости.

2. Уравнение прямой (I), проходящей через точки В и D:

3. Угол между плоскостью (Q) и прямой (I):

Острый угол между прямой и плоскостью определяется по формуле .

4. Уравнение плоскости (Р), проходящей через точку А перпендикулярно прямой (I):

направляющий вектор прямой I  является нормальным вектором плоскости, поэтому искомое уравнение плоскости P:

5. Угол между плоскостями (Р) и (Q):

Угол между плоскостями определяется по формулам , где . Нормальный вектор плоскости Р: . Для плоскости Q: . Определяем острый угол между плоскостями (Р) и (Q):

6. Уравнение прямой (т), проходящей через точку А в направлении ее радиус-вектора.

Координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки А, т. к. начало вектора —  в начале координат О(0;0;0):

7. Угол между прямыми (I) и (т).

;