Математические модели в экологии (стр. 3 )

Математические модели, которые подробно описывают сложные экологические системы, называют имитационными. Между тем всякая экологическая теория должна содержать положения, затрагивающие как экосистемы в целом, так и отдельные виды в определенные отрезки времени, причём эти положения следует применять не только к какому-то одному, а ко многим различным видам. Поэтому для выявления общих экологических закономерностей нужны другие математические описания, которые называются качественными моделями.

Если в имитационной математической модели, максимально адекватной реальному экологическому процессу, нужно учитывать как можно больше деталей (что не всегда возможно из-за практической недостижимости полноты информации), то качественная математическая модель, напротив, должна содержать их как можно меньше.

Качественные математические модели используют для теоретических исследований. Именно они позволяют выявлять общие экологические закономерности, вскрывать основные (внутренние) механизмы, управляющие развитием биологических сообществ и экологических систем в целом. Качественные модели определяют те запреты, которые нельзя нарушать при имитационном описании экосистем.

Преимущества математических моделей заключаются в том, что они позволяют делать предсказания, которые можно сравнить с реальными данными, поставив эксперимент или проведя необходимые наблюдения. Следует помнить, что любая математическая модель учитывает лишь некоторые стороны реальности, но отнюдь не все. Поэтому проверка опытом или наблюдениями — необходимый и решающий этап для утверждения любого теоретического открытия так же, как и наличие убедительного теоретического объяснения — важный аргумент в пользу достоверности экспериментальных открытий. Таким образом, математическое моделирование — это лишь одни из этапов исследования.

Математика и математические модели могут быть полезны для экологических наук, однако их применение ограничено и не является панацеей. Если окончательная цель заключается в том, чтобы внести вклад в экологическое исследование, то математику необходимо самостоятельно изучать экологию, прежде чем конструировать модель или теорию. За очень небольшим исключением для экологии практически бесполезен анализ абстрактных гипотетических моделей, как бы они ни были интересны математически.

Прежде чем предлагать гипотезу или строить математическую модель, объясняющую механизм, лежащий в основе наблюдаемых явлений, нужно сначала найти какую-то закономерность в этих явлениях, выявить их общую повторяющуюся устойчивую структуру или регулярность, а затем проверить предлагаемую гипотезу или модель на соответствие предсказаний модели реальному положению вещей. Обычно при этом предлагают альтернативные гипотезы, исходящие из других предположений, и соответственно строят иные варианты модели, результаты которых также сравнивают с теми, что наблюдаются в природе. Ключевой момент — сопоставление с эмпирическими данными.

У истоков такого подхода, названного «гипотетико-дедуктивным» или «априорным», стоял ряд экологов, но лидирующее положение среди них занимал американский исследователь Роберт Мак-Артур (1930 – 1972) — математик по образованию, который наряду с теоретическими исследованиями вел чисто натуралистическую работу.

Математические модели в экологии полезны только тогда, когда они объясняют что-то непонятное или подсказывают новые эксперименты. Такие модели построить трудно. С этой точки зрения роль математики в экологии — руководить интуицией в постижении того, что собой представляет природа, а не в получении доказательств. Это, конечно, не может служить оправданием для уклонения от строгого анализа там, где он может быть сделан, но когда модели более точно отображают природу, доказывать теоремы труднее. В этом случае нужно полностью полагаться на возможности компьютерного моделирования. И если конкретная модель не соответствует фактам, от нее следует отказаться как от неперспективной. Всегда необходимо сравнивать математическую модель с теми реальными объектами, которые эта модель должна представлять, чтобы моделирование не превратилось в самоцель.

Существует два подхода к описанию экологических процессов — детерминистский и стохастический. При детерминистском — учитывают только основные черты моделируемых явлений, тенденцию их развития, в то время как стохастическое моделирование позволяет исследовать случайные флуктуации, накладывающиеся на эту тенденцию. Преимущественное использование в экологических исследованиях при математическом моделировании детерминистских, а не стохастических моделей оправдано тем, что в математическом отношении детерминистские модели удобнее и во многих случаях могут быть реализованы в виде систем дифференциальных уравнений, теория и методы исследования которых хорошо разработаны.

Общее допущение, принимаемое при использовании детерминистских моделей, состоит в том, что если, например, детерминистская модель предсказывает периодические снижения численности одного или нескольких видов, то стохастическая — некоторую положительную вероятность вымирания этих видов; если детерминистская модель свидетельствует об устойчивом равновесии, то стохастическая — о длительном выживании; если детерминистская модель не выявляет равновесия или предсказывает лишь неустойчивое равновесие, то стохастическая — высокую вероятность вымирания.

Большинство моделей — детерминистские. Использование математической модели можно рассматривать как особый вид эксперимента: модельный эксперимент отличается от обычного (прямого) тем, что в процесс познания добавляется промежуточное звено, являющееся одновременно средством и объектом экспериментального исследования, заменяющего данный объект. Модельный эксперимент позволяет изучать такие объекты, над которыми прямой эксперимент затруднён, экономически невыгоден или вообще невозможен в силу тех или иных причин. Математическое моделирование — основное средство анализа и прогноза и в тех случаях, когда прямой эксперимент можно выполнить только один раз и его последствия необратимы. Например, к необратимым последствиям могут привести часто выдвигаемые многочисленные проекты, затрагивающие климатические процессы, такие, как переброска части стока северных рек России в засушливые местности. Основное средство анализа и прогноза подобных проектов — вычислительный эксперимент с их математическими моделями.

Математические методы наиболее широко используются при исследовании динамики численности биологических популяций, занимающих центральное место в задачах экологии и популяционной генетики. Динамическая теория популяций имеет чётко очерченный круг приложений. Это совокупность задач, связанных с управлением как эксплуатируемых человеком популяций, так и подавляемых.

Проанализируем качественные модели, поведение которых можно изучать аналитически, используя компьютер как вспомогательное средство.

Рассмотрим биологические сообщества на простейших примерах. Для этого схематизируем явления, принимая гипотезы, возможно, грубые, но простые, позволяющие выполнить математические рассуждения и выявить основные механизмы, управляющие динамикой численности популяции в чистом виде без привлечения внешних факторов. Затем будем постепенно усложнять гипотезы, стараясь приблизиться к действительности. Очевидно, все полученные результаты будут зависеть от точности гипотез.

В экологии наряду с математическими моделями широко применяют «биологические модели», т. е. экосистемы, создаваемые из настоящих организмов. Такие биологические модели весьма полезны. Они представляют собой объекты, промежуточные между математическими моделями и подлинными экосистемами, и служат как для проверки выводов, сделанных на основе математических моделей, так и для того, чтобы выявить явления, которые можно объяснить математическими методами. Математические и биологические модели дополняют друг друга.

КАЧЕСТВЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Качественное моделирование наименее требовательно к наличию информации. Для его использования необходимо лишь ввести переменные и решить, является ли отношение между ними положительным (увеличение А влечет увеличение В), отрицательным (увеличение А влечет уменьшение В) или нейтральным (увеличение А непосредственно не влияет на В). Можно усовершенствовать этот метод, введя данные об амплитуде эффектов взаимодействия (удвоение величины А влечет уменьшение вдвое величины В и т. д.). Метод допускает также существование факторов различной важности и возможность того, что находясь, например, вблизи максимума, факторы будут действовать сильнее, чем вблизи минимума. Метод можно использовать для учета большого числа количественных деталей, однако тогда он будет скорее имитационным, чем качественным.

Достоинство этого метода заключается в том, что он позволяет проследить связь между динамикой системы, с одной стороны, и характером взаимодействия между переменными — с другой, когда информация недостаточна для построения имитационной модели.

Модель этого типа может дать лишь грубое качественное описание тенденций в динамике переменных и непригодна для повседневно встречающихся случаев, чувствительных к точному количественному балансу между переменными.

ЛЕКЦИЯ №3 МАТРИЦА ЛЕОПОЛЬДА. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Матрица Леопольда

Матрица Леопольда и многие ее варианты представляют собой таблицу воздействий, включающую в себя по вертикали список возможных действий (отвод воды, строительство дорог и т. д.), а по горизонтали – множество потенциальных индикаторов воздействия.

a	b	c	d	e
a	2/1	8/5
b	7/2	8/3	3/1	9/7

Рисунок 1.1 — Фрагмент матрицы Леопольда

В первоначальном ее варианте по горизонтали были перечислены 100 действий, способных повлиять на окружающую среду, а по вертикали — 88 характеристик окружающей среды. Воздействие, соответствующее пересечению каждого действия и каждого фактора, описывается через его амплитуду и важность. Амплитуда — это мера общего уровня. Например, постройка дорог изменит или вредно повлияет на существующую систему водостока и, таким образом, может оказать большое воздействие на сток.