Дискретные математические модели (стр. 1 )

АННОТАЦИЯ

рабочей программы дисциплины

Б1.Б.6 Дискретные математические модели

Направление	01.04.02 Прикладная математика и информатика
Магистерская программа	01.04.02.01 «Математическое и информационное обеспечение финансовой и инвестиционной деятельности»,
Кафедра	Фундаментальной и прикладной математики

1.Цель изучения дисциплины: оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; сформировать  у студентов представление о математических дискретных моделях - одной из важнейших областей современной науки,  развить навыки практического применения аппарата дискретной математики и реализовать изучаемые алгоритмы с помощью современных информационных технологий.

2.Задачи изучения дисциплины: свободно оперировать терминологией курса, то есть знать основные понятия и определения, основные теоремы и условия их применения и приобретение практических навыков применения аппарата математики в экономике.

3.Результаты обучения по дисциплине.

Формируемые компетенции	Осваиваемые знания, умения, владения
Код	Наименование
Общекультурные компетенции (ОК)
ОК-1	Способностью к абстрактному мышлению, анализу, синтезу	З логику, абстрактные принципы и законы аргументации, а также принципы, необходимые  для совершенствования своей личности, а также методы анализа первичной информации о социально-экономических процессах и явлениях
У логически верно и аргументированно  строить  дискретные модели при решении экономических проблем, а также совершенствовать свой интеллектуальный и общекультурный уровень
В культурой мышления при аргументации экономической проблемы; способностью к восприятию, обобщению и анализу экономической информации
Общепрофессиональные компетенции (ОПК)
ОПК-4	способностью использовать и применять углубленные знания в области прикладной математики и информатики	З методы дискретного моделирования для решения прикладных задач, методы анализа и синтеза в области математики и информатики
У формулировать цель исследования в научной деятельности для построения математических моделей экономических задач, а также использовать углубленные теоретические и практические знания в области прикладной математики и информатики
В методологией и опытом построения математических моделей экономических задач и их решения с последующим углубленным экономическим анализом этого решения при активном общении в производственной сфере деятельности
профессиональные компетенции (ПК) по видам профессиональной деятельности
научно-исследовательская деятельность
ПК-2	способностью разрабатывать и анализировать концептуальные и теоретические модели решаемых научных проблем и задач	З методы по дискретным моделям в экономике для анализа концептуальных и теоретических моделей решаемых научных проблем и задач
У осуществлять концептуальный анализ прикладных задач, связывать конкретные задачи предметной области с теоретическими проблемами прикладной математики и информатики
В методами анализа и интерпретации данных решения экономических дискретных моделей при решении научных проблем и задач
проектная и производственно-технологическая деятельность
ПК-4	способностью разрабатывать и анализировать концептуальные и теоретические модели решаемых задач проектной и производственной технологической деятельности	З методы построения моделей для задач - проектной и производственной технологической деятельности
У использовать методы анализа дискретных моделей для составления информационного обзора и для решения проблем проектной и производственной технологической деятельности
В методами дискретной математики и методами дискретных моделей для составления аналитического отчета решаемых задач проектной и производственной технологической деятельности
Социально - ориентированная деятельность
ПК-7	способностью разрабатывать и оптимизировать бизнес-планы научно-прикладных проектов	З методы и способы оценки в вопросах организации и основ теории управленческих решений для построения критериев экономической эффективности  и сознавать ответственность бизнеса перед обществом
У использовать существующие методы корпоративной политики в области повышения социальной ответственности бизнеса перед обществом, а также принимать участие в  развитии научно-прикладных проектов
В в совершенстве управленческими технологиями для критической оценки предлагаемых вариантов задач с учетом социальной ответственности бизнеса перед обществом

4.Общая трудоемкость (в ЗЕТ): 4

5.Форма контроля: экзамен

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1.1. Цели освоения дисциплины: оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; сформировать  у студентов представление о математических дискретных моделях - одной из важнейших областей современной науки,  развить навыки практического применения аппарата дискретной математики и реализовать изучаемые алгоритмы с помощью современных информационных технологий.

.

1.2. Задачи: свободно оперировать терминологией курса, то есть знать основные понятия и определения, основные теоремы и условия их применения и приобретение практических навыков применения аппарата математики в экономике с использованием современных пакетов программ статистического анализа и мировых информационных ресурсов, навыков систематизации и обработки экономической информации.

МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ Цикл (блок) ОП:Б1.Б Связь с другими дисциплинами учебного плана

Перечень предшествующих дисциплин	Перечень последующих дисциплин, видов работ
Избранные разделы математического анализа Современные проблемы прикладной математики и информатики Современные компьютерные технологии Эконометрика	Эконометрическое моделирование Математические модели инвестиций Дополнительные главы функционального анализа Математические модели микроэкономики Математические модели макроэкономики Математические методы финансового анализа Математические методы инвестиционного анализа Диссертационное исследование

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Формируемые компетенции	Осваиваемые знания, умения, владения
Код	Наименование
Общекультурные компетенции (ОК)
ОК-1	Способностью к абстрактному мышлению, анализу, синтезу	З логику, абстрактные принципы и законы аргументации, а также принципы, необходимые  для совершенствования своей личности, а также методы анализа первичной информации о социально-экономических процессах и явлениях
У логически верно и аргументированно  строить  дискретные модели при решении экономических проблем, а также совершенствовать свой интеллектуальный и общекультурный уровень
В культурой мышления при аргументации экономической проблемы; способностью к восприятию, обобщению и анализу экономической информации
Общепрофессиональные компетенции (ОПК)
ОПК-4	способностью использовать и применять углубленные знания в области математики и информатики	З методы дискретного моделирования для решения прикладных задач, методы анализа и синтеза в области математики и информатики
У формулировать цель исследования в научной деятельности для построения математических моделей экономических задач, а также использовать углубленные теоретические и практические знания в области прикладной математики и информатики
В методологией и опытом построения математических моделей экономических задач и их решения с последующим углубленным экономическим анализом этого решения при активном общении в производственной сфере деятельности
Профессиональные компетенции (ПК) по видам профессиональной деятельности
научно-исследовательская деятельность
ПК-2	способностью разрабатывать и анализировать концептуальные и теоретические модели решаемых научных проблем и задач	З методы по дискретным моделям в экономике для анализа концептуальных и теоретических моделей решаемых научных проблем и задач
У осуществлять концептуальный анализ прикладных задач, связывать конкретные задачи предметной области с теоретическими проблемами прикладной математики и информатики
В методами анализа и интерпретации данных решения экономических дискретных моделей при решении научных проблем и задач
проектная и производственно-технологическая деятельность
ПК-4	способностью разрабатывать и анализировать концептуальные и теоретические модели решаемых задач проектной и производственной технологической деятельности	З методы построения моделей для задач - проектной и производственной технологической деятельности
У использовать методы анализа дискретных моделей для составления информационного обзора и для решения проблем проектной и производственной технологической деятельности
В методами дискретной математики и методами дискретных моделей для составления аналитического отчета решаемых задач проектной и производственной технологической деятельности
организационно-управленческая деятельность
ПК-7	способностью разрабатывать и оптимизировать бизнес-планы научно-прикладных проектов	З методы и способы оценки в вопросах организации и основ теории управленческих решений для построения критериев экономической эффективности  и сознавать ответственность бизнеса перед обществом
У использовать существующие методы корпоративной политики в области повышения социальной ответственности бизнеса перед обществом, а также принимать участие в  развитии научно-прикладных проектов
В в совершенстве управленческими технологиями для критической оценки предлагаемых вариантов задач с учетом социальной ответственности бизнеса перед обществом

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Аудиторные занятия ? очная форма обучения

Кол. час	в том числе в интерактивной форме, час.	Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание	Формируемые компетенции
16	2	Лекции
8	2	Модуль 1 «Бинарность и обобщенные паросочетания»
2	Тема1.1  «Бинарные отношения и функции полезности» Бинарные отношения и их свойства. Операции над бинарными отношениями. Графическая интерпретация бинарных отношений и их свойств. Специальные классы бинарных отношений: частичный порядок, слабый порядок, линейный порядок. Отношение несравнимости и его свойства для специальных классов бинарных отношений. Модель ординальной полезности.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
2	Тема1.2  «Обобщенные паросочетания, или паросочетания при линейных предпочтениях участников» Предпочтения. Условия классической рациональности предпочтений. Обобщенные паросочетания. Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при любых предпочтениях участников (теорема Гейла – Шепли). Манипулирование предпочтениями. Примеры обобщенных паросочетаний: распределение студентов по комнатам общежития, распределение работников по фирмам.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
2	2	Тема1.3  «Задача голосования. Коллективные решения на графе» Правило простого большинства. Парадокс Кондорсе. Правило Борда. Внутренняя и внешняя устойчивость. Ядро. Некоторые правила принятия решений: позиционные правила, правила, использующие мажоритарное отношение, правила, использующие вспомогательную числовую шкалу, правила, использующие турнирную матрицу. Правило порогового агрегирования. Правило выбора непокрытого множества. Правило выбора слабоустойчивого множества.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
2	Тема1.4 «Коалиции и влияние групп в парламенте» Голосование с квотой. Индексы влияния. Индекс влияния Банцафа. Влияние стран в Совете Безопасности ООН. Анализ влияния групп и фракций в Государственной Думе Российской Федерации. Институциональный баланс власти в Совете министров расширенного Евросоюза. Примеры других индексов влияния: индекс Шепли-Шубика, индекс Джонсона, индекс Дигена-Пакела, индекс Холера-Пакела. Индексы влияния, учитывающие предпочтения участников.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
8	Модуль 2 «Игровые модели»
2	Тема 2.1  «Справедливый дележ» Историческая постановка задачи. Процедура «дели и выбирай». Манипулирование при дележе. Критерии справедливости дележа. Процедура «подстраивающийся победитель» и ее свойства. Разрешение трудовых споров. Слияние фирм. Раздел имущества. Дележ при числе участников больше двух. Дележ при наличии неделимых пунктов. Манипулирование при использовании процедуры «подстраивающийся победитель».	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
2	Тема 2.2 «Равновесия игры по Нэшу» Игры 2х2: стратегии, выигрыши, платежная матрица. Доминантные стратегии. Понятие равновесия игры по Нэшу. Примеры игр 2х2 (дилемма заключенного и др). Примеры игр, имеющих равновесие по Нэшу, не имеющих его, а также имеющих бесконечно много равновесий. Вероятность события и ожидаемый выигрыш. Смешанные стратегии. Теорема о существовании равновесия Нэша в смешанных стратегиях для любой игры 2х2. Фокальные равновесия.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
2	Тема 2.3  «Игры с природой в условиях неопределённости» Постановка задачи статистической игры. Анализ матрицы выигрышей игры с природой. Построение матрицы рисков.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
2	Тема 2.4 «Критерии для принятия решений в статистических играх» Критерий, основанный на известных вероятностях условий. Максиминный критерий Вальда. Критерий Сэвиджа минимаксного риска. Критерий Гурвица. Критерий Лапласа. Планировани эксперимента в условиях неопределённости.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
24	8	Практические занятия
12	4	Модуль 1 «Бинарность и обобщённые паросочетания»
2	Тема1.1 «Бинарные отношения и их свойства». Операции над бинарными отношениями. Графическая интерпретация бинарных отношений и их свойств. Отношение несравнимости и его свойства для специальных классов бинарных отношений. Модель ординальной полезности.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
2	2	Тема1.2  «Обобщенные паросочетания, или паросочетания при линейных предпочтениях участников» Предпочтения. Условия классической рациональности предпочтений. Обобщенные паросочетания. Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при любых предпочтениях участников. Манипулирование предпочтениями. Примеры обобщенных паросочетаний: распределение студентов по комнатам общежития, распределение работников по фирмам.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
4	Тема1.3  «Задача голосования. Коллективные решения на графе» Парадокс Кондорсе. Правило Борда. Внутренняя и внешняя устойчивость. Ядро. Некоторые правила принятия решений: позиционные правила, правила, использующие мажоритарное отношение, правила, использующие вспомогательную числовую шкалу, правила, использующие турнирную матрицу. Правило выбора непокрытого множества.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
4	2	Тема1.4 «Коалиции и влияние групп в парламенте» Индексы влияния. Индекс влияния Банцафа. Анализ влияния групп и фракций в Государственной Думе Российской Федерации. Институциональный баланс власти в Совете министров расширенного Евросоюза. Примеры других индексов влияния: индекс Шепли-Шубика, индекс Джонсона, индекс Дигена-Пакела, индекс Холера-Пакела. Индексы влияния, учитывающие предпочтения участников.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
12	4	Модуль 2 «Игровые модели»
2	2	Тема 2.1  «Справедливый дележ» Процедура «дели и выбирай». Манипулирование при дележе. Критерии справедливости дележа. Процедура «подстраивающийся победитель» и ее свойства. Разрешение трудовых споров. Слияние фирм. Раздел имущества. Дележ при числе участников больше двух. Дележ при наличии неделимых пунктов. Манипулирование при использовании процедуры «подстраивающийся победитель».	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
4	Тема 2.2  «Равновесия игры по Нэшу» Игры 2х2: стратегии, выигрыши, платежная матрица. Доминантные стратегии. Понятие равновесия игры по Нэшу. Примеры игр 2х2 (дилемма заключенного и др). Вероятность события и ожидаемый выигрыш. Смешанные стратегии. Теорема о существовании равновесия Нэша в смешанных стратегиях для любой игры 2х2. Фокальные равновесия.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
4	Тема 2.3  «Игры с природой в условиях неопределённости» Анализ матрицы выигрышей игры с природой. Построение матрицы рисков.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
2	2	Тема 2.4  «Критерии для принятия решений в статистических играх» Критерий, основанный на известных вероятностях условий. Максиминный критерий Вальда. Критерий Сэвиджа минимаксного риска. Критерий Гурвица. Критерий Лапласа.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7

Самостоятельная работа студента – очная форма обучения

Кол. час	Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, тематика рефератной работы, контрольных работ, рекомендации по использованию литературы, ЭВМ и др.	Формируемые компетенции
68	Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку
34	Модуль 1 «Бинарность и обобщенные паросочетания»
10	Бинарные отношения и их свойства. Операции над бинарными отношениями. Графическая интерпретация бинарных отношений и их свойств	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
7	Условия классической рациональности предпочтений. Обобщенные паросочетания. Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при любых предпочтениях участников. Манипулирование предпочтениями.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
5	Внутренняя и внешняя устойчивость. Ядро. Некоторые правила принятия решений: позиционные правила, правила, использующие мажоритарное отношение, правила, использующие вспомогательную числовую шкалу, правила, использующие турнирную матрицу..	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
6	Правило выбора непокрытого множества. Индексы влияния. Индекс влияния Банцафа. Подготовка к контрольной работе по модулю 1.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
6	Усвоение текущего учебного материала	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
34	Модуль 2 «Игровые модели»
10	Анализ матрицы выигрышей игры с природой. Построение матрицы рисков.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
7	Критерии для принятия решений в статистических играх без эксперимента.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
5	Подготовка к контрольной работе по модулю 2.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
6	Усвоение текущего учебного материала.	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
6	Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Построение матрицы рисков».	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7
68	Общая трудоемкость самостоятельной работы
36	Подготовка к экзамену	ОК-1,ОПК-4, ПК-2,ПК-4, ПК-7

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Фонд оценочных средств для проведения текущего контроля

№	типовые задания, контрольные работы, тесты и другие методы контроля, позволяющие оценить знания, умения и уровень приобретенных компетенций (демонстрационный вариант)
Текущий контроль успеваемости
1.	Тестовые задания
Тестовые задания по модулю 1
Задание 1. Укажите правильный ответ Пусть , и предпочтения участников имеют вид: ;  ; ;  ; ;  ; ;  . Является ли устойчивым паросочетание: ? Варианты ответов: а) да;   б)нет
Задание 2. Укажите правильный ответ Пусть бинарные отношения и а)  рефлексивны б) антирефлексивны в) симметричны г) асиметричны д) транзитивны Будет ли их произведение обладать теми же свойствами? Варианты ответов: а)нет;   б)да;   в)частично. .
Задание 3. Укажите правильный ответ Пусть , , , , т. е. квота равна 51 голосу. Такую ситуацию голосования с квотой будем обозначать как (51; 40, 30, 30), где первое число обозначает , а следующие три числа -- , и «веса» участников.  Какие коалиции являются выигрывающими? Варианты ответов: а);   б) ;   в) ;   г)   д) .
Тестовые задания по модулю 2
Задание 1.Укажите правильный ответ Игра задана платёжной матрицей: Найти решение этой игры в смешанных стратегиях. Варианты ответов: Оптимальные стратегии игрок А игрок В цена игры а) б) в)
Задание 2. Укажите правильный ответ Найти оптимальную стратегию А в условиях, когда его выигрыш зависит от одного из состояний природы и задан платёжной матрицей: S1 S2 S3 S4 А1 5 11 19 23 А2 8 6 8 27 А3 22 17 15 18 А4 26 23 20 14 Варианты ответов по критерию Вильде:  а)  А1 б) А3  в) А2 по критерию Гурвица:  а)  А2 б) А4  в) А3 по критерию Лапласа:  а)  А1 б) А4  в) А3 по критерию Сэвиджа: а)  А2 б) А3  в) А4
2.	Контрольные работы
Пример варианта контрольной работы по модулю 1
1. Пусть , и предпочтения участников имеют вид: ;  ; ;  ; ;  ; ;  . ; Постройте паросочетания и . 2.  Пусть А – непустое конечное множество, на котором задана функция полезности - множество неотрицательных действительных чисел. Бинарное отношение Р  определим так, что , где - фиксированное положительное число. Какими свойствами обладает бинарное отношение Р? Докажите, что бинарное отношение Р транзитивно, если и только если . 3. Приведите пример, показывающий, что отношение несравнимости для антирефлексивного связного полутранзитивного отношения не всегда удовлетворяет условию связности.
Пример варианта контрольной работы по модулю 2
1.Найдите выигрывающие коалиции в голосовании с квотой (5; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) и подсчитайте для каждого из участников индекс Банцафа. Найдите ядро изображенного графа или покажите, что оно не существует. 3. Двусторонняя  игра  задана платёжной матрицей . а)  Упростите матрицу , исключив доминируемые стратегии игрока А (строки) и доминируемые стратегии игрока  B (столбцы), приведя её к виду . б) Найдите нижнюю и верхнюю цены игры. Решается ли данная игра в «чистых» стратегиях? Если не решается, то найдите оптимальные смешанные стратегии игроков. в) Считая, что игроком В является природа, составьте по упрощенной матрице матрицу рисков игрока А и найдите его оптимальную стратегию по правилу Сэвиджа (минимального риска) и по критерию Лапласа (равновозможных состояний)

Структура и содержание фонда оценочных средств представлены в Приложении 1 к рабочей программе дисциплины