Методические указания к курсовой работе (типовому семестровому заданию) «Алгоритмизация и модификация САЕ-систем (на примере САЕ Sigma и Nastran) » (стр. 4 )

Всё это студент должен сделать самостоятельно, модифицируя модули  fs. for,  DATA. for в котором считывается информация, в том числе и значение nvar,  и, конечно,  MAIN. for, в котором осуществляется вызов DATA. for и  fs. for.

Значение nvar надо использовать во всех пунктах КР, где сравниваются разные сетки, модифицируя соответствующие подпрограммы.

Если в связи с выполнением конкретного задания каких-либо числовых значений будет недостаточно для целей исследования, следует внести в модуль fs. for соответствующие коррективы.

Результаты вычислительных экспериментов  записать в таблицу отчета, по которой и провести анализ.

Для доказательства своих выводов желательно построить графики.

Оформление отчета по П.3.

Отчет по П.3. должен содержать:

  по два изображения в одной строке какого-либо напряжения с сеткой КЭ, границами зон и номерами свойств КЭ до и после оптимизации сетки для сеток КР 6-го и 7-го семестров;   таблицы результатов исследования   анализ эффективности работы алгоритма оптимизации в разных зонах для сеток 6-го и 7-го семестров и заключение об особенностях, недостатках и эффективности работы алгоритма оптимизации сетки при  выполнения функций, для которых он предназначен. 

П.4. Оценка качества сетки КЭ

Введение

Оценка качества сетки конечных элементов

Качество сетки конечных элементов кардинальным образом влияет на результаты решения задачи МКЭ, так как сетка КЭ является входными данными для программы. Поэтому крайне важно, не приступая к решению задачи, выбрать заранее наилучший вариант конечно-элементной сетки, ибо  наилучший вариант сетки КЭ должен давать результат приближенного решения, наиболее близкий точному. Итак, объективно невозможно оценить качество сетки конечных элементов без сравнения результатов приближенного решения задачи с точным решением. Но, как правило, отсутствие точного решения лишает исследователя использовать эту возможность и, тем самым, заранее оценить качество входных данных,

Поэтому приходится искать способы оценки качества сетки КЭ по косвенным признакам, при этом не только после её построения, но и, желательно, в процессе триангуляции.

Установлено, например, что ошибка метода КЭ при решении на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах сетки.

Отсюда в качестве естественного критерия качества сетки можно принять синус минимального угла в КЭ сетки. Но его применение в случаях проведения исследования на сетках, не совпадающих по числу КЭ, требует построения  графиков значений минимального угла в зависимости от числа конечных элементов (при равенстве числа КЭ возможна табличная форма сравнения). Тем не менее, этот критерий заслуживает внимания.

Другой критерий, основанный на подсчете среднего минимального угла в сетке, более интегрировано оценивает качество сеток и может применяться в алгебраической форме без построения графиков. 

Оба эти простейших критерия не затрагивает форму большинства КЭ, необходимое для наиболее точного расчета число КЭ, изменение плотности КЭ в разных подобластях рассчитываемого объекта и поэтому могут использоваться только как вспомогательные.

Вообще, численных рекомендаций по форме КЭ чрезвычайно мало. В литературе встречаются только некоторые:

Углы треугольных КЭ должны быть преимущественно  в интервале  от 30 до 150 градусов. Отношения сторон треугольника не должны быть больше 1: 10.

Другой критерий основывается на теореме Делоне, гласящий, что система КЭ будет оптимальной, если  она  имеет наименьший периметр сторон (ребер) на одной и той же системе узлов. Этот критерий позволяет формировать оптимальную сетку КЭ в процессе её построения по заранее заданным узлам и поэтому заслуживает пристального внимания. Но этот критерий неприменим для сравнения сеток с разным числом узлов и (или) координатами.

Более универсальным способом оценки качества сетки КЭ, который можно использовать и в процессе триангуляции,  является метод штрафных функций.

Метод штрафных функций для оценки сеток КЭ  состоит в  подсчете численного значения  критерия, по которому оценивается качество сетки КЭ. Это критерий представляет собой своеобразный штраф  за несовершенство сетки.

Простейший вариант такого критерия учитывает размер и форму каждого КЭ.

                         f(ei)= C1(ei)+ C2(ei)

где f(ei)- критерий (штраф), по которому оценивается качество i-го конечного элемента, C1(ei)? 0 - штраф за неоптимальность размеров i - го КЭ:

C2(ei)? 0 – штраф за  неоптимальность формы i - го КЭ.

При формировании штрафа не следует забывать, что его следует накладывать, когда отклонение от оптимума вносит наибольшие ошибки в результаты расчета.

Штраф за размеры C1(ei).

Понятно, что при вычисления штрафа за размеры КЭ, не следует его подсчитывать для КЭ, площадь которых меньше оптимальной, так как вычисления, например, тех же напряжений на меньшем по площади КЭ будут точнее, чем на большем по площади КЭ.

Далее, этот штраф должен быть больше  при большем отклонении площади КЭ от оптимума. Отсюда возникает необходимость составления формулы подсчета штрафа (функции штрафа) в зависимости от отклонения размера КЭ от оптимального размера.

За оптимальный размер КЭ можно взять среднюю площадь КЭ на всём рассчитываемом объекте, так как теоретически наиболее точные результаты МКЭ получаются на равномерной сетке.

Поэтому формулу вычисления штрафа за размеры КЭ можно представить в следующем виде:

               C1(ei)= Ci(di)=

причем C1(d1)? C1(d2), если d1? d2>0.

Здесь

где - площадь i - го КЭ, - средняя площадь КЭ рассчитываемого объекта.

Другой вариант записи отклонения от оптимума можно представить, например, так: . Но тогда формулу штрафа за размеры придется изменить:                C1(ei)= Ci(di)=

причем C1(d1)? C1(d2), если d1? d2>0.

Последняя форма предпочтительней, так как здесь имеем дело с относительными величинами.

Запись самой формулы штрафа за размеры Ci(di) зависит от оценки важности этого критерия исследователем. Он может принять линейную зависимость Ci(di)=k di  , квадратичная Ci(di)=k (di)2  или какую-либо другую.

Выбор формы записи отклонения от размера КЭ и самой функции штрафа оставляется на выбор исследователя и в КР 7-го семестра студент должен выбрать и то и другое самостоятельно.

Штраф за форму C2(ei).

Элементарные соображения приводят к желательности равностороннего треугольного КЭ. Следовательно, штрафовать  за форму надо треугольники, не отвечающие требованию равносторонности.

Вариантов функции штрафа за форму много. Можно анализировать углы КЭ и штрафовать те КЭ, минимальный угол которых отличается от 60 градусов, но здесь возникает вопрос о достаточности такого критерия. Можно анализировать сумму отношения длин сторон треугольника.

Функцию штрафа за форму КЭ можно разработать на основе отношения площади КЭ к площади вписанной в него окружности или на основе отношения радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу описанной.

Известно, например, что для любого треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности ? 2. Причем равенство имеет место для правильного треугольника.

Можно использовать некоторые известные соотношения в треугольнике. Например, отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС меньше или равно . При этом, равно - для равностороннего треугольника.

Также как и в функции штрафа за размеры студент должен выбрать формулу  штрафа  за форму  и сформировать функцию штрафа самостоятельно.

Суммарный штраф f(ei)= C1(ei)+ C2(ei)

При формировании суммарного штрафа следует учесть, что в КР 7-го семестра размер и форма КЭ являются одинаково важными при формировании сетки КЭ. Поэтому  размеры штрафов  за размеры и форму для одной из сравниваемых сеток должны быть одинаковыми. Это достигается включением в формулу одного из штрафов множителя k, который подбирается для данной сетки отдельно  при каждом NRC.        

После этого подсчитывается суммарный штраф по всем КЭ для сравниваемых сеток. Но так как этим методом могут сравниваются сетки  с разным числом КЭ, то для корректности сравнения надо разделить суммарный штраф по всей сетке на число КЭ как для одной, так и для другой сетки.

При выполнении П.3. рекомендуется использовать подпрограммы fs. for (файл w1calc. for) и GETFINE. for (файл w2calc. for).

Файлы w1calc. for  и w2calc. for находятся на сайте в разделе

«Дополнительные модули и программы к САЕ Sigma».

Студент должен исключить из подпрограмм ненужные элементы и модифицировать эти  подпрограммы под запросы решаемых задач.

4. является оценка качества оптимизированных сеток КР 6-го и 7-го семестров по двум критериям: по минимальному углу сетки КЭ и по размерам и форме КЭ методом штрафных функций.

П.4.1. Оценка качества сетки по значениям минимального угла конечно-элементной сетки.

Содержание работы по П.4.1.

Как уже говорилось, ошибка метода КЭ при решении задачи на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах этой сетки. Для простоты в в П.4.1. КР 7-го семестра оценка качества сетки проводится по значению минимального угла.