правительство Российской Федерации

Санкт – Петербургский государственный университет

МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ факультет



Принята на заседании

кафедры высшей алгебры и теории чисел

Зав. кафедрой,

профессор

УТВЕРЖДАЮ

Декан факультета,

профессор


ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

"Гомологическая алгебра"

Специальность – 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

Санкт – Петербург

2012 г.

1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ Раздел

Основная задача курса — дать аспиранту общие представления о технических средствах современной гомологической алгебры и примерах их приложений.

Целью курса является формирование навыков самостоятельного использования слушате­лями методов теории категорий и гомологической алгебры.

Слушатели курса должны овладеть теоретическими основами методов гомологической алгебры и  навыками самостоятельного их использования.

Построение курса подразумевает постоянное акцентирование внимания аспирантов на общекультурном, историческом и социальном контексте формирования и использования изучаемых математических понятий и методов.

2. ОБЪЕМ КУРСА


Продолжительность обучения

3 семестра (2-4 семестры)

Общая трудоемкость

108 часов

Лекции

50 часов

Самостоятельная работа

58 часов

Изучение дисциплины, формы контроля:

1 год:

лекции – 20ч,

самостоятельная работа – 16ч.

2 год:

лекции – 30ч,

самостоятельная работа – 42ч, зачет

экзамен

3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

РАЗДЕЛ 1. КАТЕГОРИЯ МОДУЛЕЙ

Универсальные конструкции: прямые суммы и прямые произведения, универсальные и коуниверсальные квадраты, точные квадраты. Лемма о двух квадратах. Группы расширений. Длинная точная Ext-последовательность. Гомологические размерности: проективная и инъективная размерности модулей. Глобальная размерность кольца.

РАЗДЕЛ 2. КАТЕГОРИЯ КОМПЛЕКСОВ

Коцепные комплексы и коцепные отображения, ядра и коядра коцепных отображений. Отношение гомотопии для коцепных отображений. Конструкция гомотопической категории комплексов. Когомологии комплексов. Конус и цилиндр коцепного отображения. Длинная точная когомологическая последовательность (два варианта: а) с использованием конуса морфизма,  б) индуцированная короткой точной последовательностью комплексов). Лемма о змее, 3x 3-лемма. “Морфизм” длинных когомологических последовательностью, индуцированный морфизмом коротких точных последовательностей. Квазиизоморфизмы и ацикличные комплексы. Резольвенты комплексов; теоремы сравнения для резольвент. Бикомплексы. Теорема о когомологиях  тотализации “почти-ацикличного” бикомплекса; приложение к функторам Extn.

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ КАТЕГОРИИ

Триангулированные категории, простейшие следствия аксиом триангулированной категории. Структура триангулированной категории на гомотопической категории комплексов. Исчисление частные (для  категорий). Локализация триангулированных категорий. Биекция между толстыми триагулированными подкатегориями триангулированной категории и насыщенными локализующими классами морфизмов, совместимыми с триангуляцией. Производная категория как локализация гомотопической категории. Группы морфизмов в производной категории и группы Extn(A, C). Произведение Йонеды и композиция морфизмов в производной категории. AR-треугольники. Определение и конструкция производных функторов. Классические производные функторы. Понятие спектральной последовательности. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса. Спектральная последовательность бикомплекса.  Спектральная последовательность Хохшильда–Серра.

Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу


Прямые суммы и прямые произведения в категории модулей. Универсальные и коуниверсальные квадраты. Лемма о двух квадратах. Построение группы расширений Ext1(A, C). Теорема о точной Ext-последовательности. Проективная и инъективная размерности модуля. Глобальная размерность кольца. Наследственные кольца. Конус и цилиндр цепного отображения. Длинная когомологическая последовательность, индуцированная цепным отображением. Длинная когомологическая последовательность, индуцированная короткой точной последовательностью комплексов. Следствия теоремы о длинной когомологической последовательности: 3x 3-лемма, лемма о змее. Построение инъективной резольвенты ограниченного снизу комплекса. Теоремы сравнения для резольвент. Теорема о когомологиях  тотализации “почти-ацикличного” бикомплекса; приложение к функторам Extn. Понятие триангулированной категории, простейшие свойства. Структура триангулированной категории на гомотопической категории. Локализация триангулированных категорий. Насыщенные триангулированные подкатегории, критерий Рикарда. Структура производной категории. AR-треугольники над алгебрами конечной глобальной размерности. Определение и конструкция производных функторов. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса. Спектральная последовательность бикомплекса. Спектральная последовательность Хохшильда–Серра.

4. ЛИТЕРАТУРА

Основная

, . Методы гомологической алгебры, т.I. М., Наука, 1988. А. Картан, С. Эйленберг. Гомологическая алгебра, М., Изд-во ИЛ, 1960. С. Маклейн. Гомология, М., Мир, 1966.

Дополнительная

1. Н. Бурбаки. Гомологическая алгебра. М., Мир,1987.

2. C. A.Weibel. An introduction to homological algebra. Cambridge, 1994.

СОСТАВИТЕЛЬ:

A. И. Генералов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей алгебры и теории  чисел.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: