Олимпиада «Математический марафон»
5-6 класс
I тур
1. Напишите вместо семи звёздочек семь различных цифр так, чтобы получилось верное равенство: **** + ** + * = 2016.
Решение. Главное при решении этой задачи внимательно прочитать условие. Например, имеем: 1987 + 25 + 4 = 2016.
2. В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про своё золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды два лесогорца сказали:
А: Всё моё золото я украл у Дракона.
Б: Ты лжешь. Определите, эльфом или гномом является каждый из них.
Решение. Предположим, что А эльф. Тогда он сказал правду, а Б солгал. Но ни гномы, ни эльфы не лгут, говоря про эльфов. Значит, А гном. Говоря про золото, он солгал. Поэтому Б сказал про А правду. Это мог сделать только гном.
Ответ: А и Б – гномы.
3. Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис – 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?
Решение. Заметьте, в условии задачи ничего не сказано о том, в одну или разные стороны скачут мушкетёры.
Мушкетёры могли ехать:
а) в разные стороны, навстречу друг другу;
б) в разные стороны, удаляясь друг от друга;
в) в одну сторону – Атос за Арамисом;
г) в одну сторону – Арамис за Атосом.
Соответственно задача допускает четыре разных ответа.
В случае а) за час расстояние уменьшится на 4 + 5 = 9 лье и составит 20 – 9 = 11 лье.
В случае б) за час расстояние увеличится на 4 + 5 = 9 лье и составит 20 + 9 = 29 лье.
В случае в) за час расстояние увеличится на 5 – 4 = 1 лье и составит 20 + 1 = 21 лье.
В случае г) за час расстояние уменьшится на 5 – 4 = 1 лье и составит 20 – 1 = 19 лье.
Ответ: 11, 29, 21 или 19 лье.
4. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Решение: Только английским языком владеет 28–8–10+3=13 человек, только французским – 42–10–5+3=30 туристов, только немецким – 30–8–5+3=20 человек. Знают одновременно только английский и немецкий языки 8–3=5 человек, только английский и французский – 10–3=7 туристов, только немецкий и французский –
5–3=2 человека. Тогда 100–(13+30+20+5+7+2+3)=20 человек не знают ни одного из этих языков.
Ответ: 20 человек.
5. Лиза на 8 лет старше Насти. Два года назад ей было втрое больше лет, чем Насте. Сколько лет Лизе?
Решение: Два года назад Лиза тоже была на 8 лет старше Насти. А если при этом она еще была старше в 3 раза, то Насте было 8 : (3 – 1) = 4 года, а Лизе 
лет. Значит, сейчас Лизе 12 + 2 = 14 лет.
Ответ: 14 лет.
6. Прямоугольник ABCD разделили на четыре меньших прямоугольника с одинаковыми периметрами (см. рисунок). Известно, что AB = 18 см, а BC = 16 см. Найдите длины сторон остальных прямоугольников. Обязательно объясните свой ответ.
Решение. Так как периметры трёх вертикальных прямоугольников равны и к тому же равны отрезки ED, FG, KH и LC, отрезки ЕF, FK и KL тоже равны. Значит, каждый из отрезков ЕF, FK и KL равен 18 см : 3 = 6 см.
Периметр прямоугольника ABLE равен периметру прямоугольника DEFG.
Дальше можно решать, составив уравнение, или попытаться обойтись без него.
Способ 1. Пусть АЕ = х см, тогда 18 + 18 + х + х = 6 + 6 +16 – х + 16 – х. Откуда (например, подбором) находим х = 2. Значит, АЕ = 2 см, а ED = 14 см.
Способ 2. Из условия следует, что DE + EF = AE +AB, то есть DE + 6 = AE +18. Тогда разность длины отрезков DE и АE равна 12 см, а их сумма по условию равна 16 см. Отсюда АЕ = 2 см, а DE = 14 см.
Ответ: 2 см и 18 см – длины сторон прямоугольника ABLE, 6 см и 14 см – длины сторон остальных прямоугольников.
7. Разрежьте фигуру на четыре равных клетчатых фигуры.
Решение.
Один из возможных вариантов ответа.
