В правильной четырёхугольной пирамиде (стр. 2 )

б) На прямой NB отметим точку F такую, что . Учитывая, что , следует (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.

Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как

.

По условию задачи , следовательно, , а . Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, отрезок . Найдем длину отрезка из прямоугольного треугольника ANB:

.

Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB:

,

откуда

.

Таким образом,

и

.

Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √21, SB = √85 , SD = √57.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник SAB. Из значения его сторон следует, что

,

Следовательно, SB – гипотенуза и угол SAB – прямой.

Аналогично для треугольника SAD:

,

получаем, что SD – гипотенуза и угол SAD – прямой. В результате получаем, что при и , следует (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), и следовательно, SA – высота пирамиды.

б) Угол между прямыми SC и BD – это угол между двумя скрещивающимися прямыми, который соответствует углу между прямыми NO и OD (см. рисунок). Так как прямая и точка O делит прямую AC пополам, то и точка N будет делить AS пополам. Следовательно, ON – это средняя линия треугольника ASC и равна

.

Вычислим диагональ AC из прямоугольного треугольника ACD:

.

Тогда длина ребра SC будет равна (учитывая, что треугольник SAC прямоугольный):

и

.

Так как диагонали в прямоугольнике равны, то BD=AC. Тогда

.

Найдем длину отрезка DN. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAD, в котором катет , катет и по теореме Пифагора имеем

.

По теореме косинусов находим косинус угла , получаем:

откуда

.

Задание 14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 =1:3.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

Решение.

а) Построение. Пересекая прямую с прямой , получаем точку пересечения K (см. рисунок). Точка B является общей точкой для обеих плоскостей. Соединяя точки K и B, получаем прямую пересечения плоскостей ABC и .

б) Рассмотрим подобные треугольники и . Для сторон этих треугольников можно записать следующую пропорцию:

,

откуда

.

Вычислим длину отрезка KB из прямоугольного треугольника AKB по теореме Пифагора:

.

Найдем высоту AH прямоугольного треугольника AKB из формулы площади треугольника:

,

где , и

.

Найдем тангенс угла между плоскостями ABC и из прямоугольного треугольника AEH:

и

.

Задание 14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра СС1.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Решение.

а) Построение. Отметим точку K как результат пересечения прямой BC и прямой : т. е. (см. рисунок). Точка A является общей точкой для плоскостей ABC и . Следовательно, указанные плоскости пройдут через линию AK (см. рисунок). Данная линия и будет прямой пересечения плоскостей ABC и .

б) Необходимо найти угол DHC (см. рисунок). Рассмотрим треугольник и подобный ему треугольник с коэффициентом подобия (то есть они равны между собой). Отсюда получаем, что . Имеем равнобедренный треугольник с углом (так как угол у равностороннего треугольника ABC). В равнобедренном треугольнике высота CH, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHK, у которого гипотенуза и прилегающий к ней угол . Тогда катет CH можно найти как

.

Найдем тангенс угла между плоскостями из прямоугольного треугольника DCH, получим: