В правильной четырёхугольной пирамиде (стр. 4 )

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO – высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть

.

Точка K является серединой отрезка MN, причем , откуда следует, что . Так как , то . Таким образом, получаем, что .

б) Расстояние от точки A до плоскости - это перпендикуляр от точки A до плоскости , длина которого равна отрезку EZ. Так как , найдем длину отрезка CE из прямоугольного треугольника ECB по теореме Пифагора:

.

Получаем расстояние

.

Задание 14. Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 8 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы, и площадь каждого из них равна 9р.

а) Постройте эти сечения.

б) Найдите площадь поверхности шара.

Решение.

а) Расстояние между сечениями 8, площади сечений равны, следовательно, каждые сечения находятся от центра шара на равном расстоянии, т. е. на расстоянии 4 единицы. Искомые сечения будут кругами равных площадей и соответственно, радиусов (см. рисунок).

б) Радиус сечения найдем из формулы площади круга

,

где - радиус сечения. По условию площадь сечения равна , получаем

и

.

Найдем радиус шара из прямоугольного треугольника . Очевидно, что отрезок равен радиусу шара :

.

Наконец, площадь поверхности шара равна

.

Задание 14. Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 описана сфера. На ребре СС1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В, и М, образует угол 15° с плоскостью ABC.

а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.

Решение.

а) Сечение сферы плоскостью является окружностью. Пусть прямая BM вторично пересекает сферу в точке K. Искомая линия – описанная окружность вокруг прямоугольного треугольника ABK.

б) Точка K – точка пересечения прямой BM с описанной окружностью квадрата . Угол , так как - диаметр окружности, поэтому .

Так как , то . Следовательно,

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Длина описанной вокруг него окружности равна произведению ее диаметра AK на число . Таким образом,

и длина линии пересечения плоскости АВМ и сферы равна .

Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √11 , SB = 3√3, SD = 2√5.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение.

а) Доказательство. Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны , и . Значения этих сторон подчиняются выражению

,

следовательно, треугольник SAB прямоугольный с .

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами , , . Длины сторон треугольника также подчиняются выражению

,

то есть он является прямоугольным и .

Из перпендикулярности и следует, что и, следовательно, SA – высота пирамиды.

б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Таким образом, нужно найти угол между прямыми SC и SB (см. рисунок), т. е. угол .

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла равен

и

.

Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

Решение.

а) Плоскость BCF также будет проходить через точку G, лежащую по середине отрезка SD (см. рисунок), так как для плоскости должно соблюдаться , и . В результате имеем прямую FG, являющуюся линией пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Спроецируем точку F на вектор AD, получим точку M, причем . Аналогично построим проекцию точки F на вектор BC, получим точку N и . В результате получили треугольник MFN, в котором угол будет соответствовать углу между искомыми плоскостями. Найдем данный угол по теореме косинусов, получим:

.

Определим длины сторон треугольника MFN. Рассмотрим прямоугольный треугольник FBN, у которого сторона , так как она является медианой равностороннего треугольника со сторонами 1. Длина находится из равнобедренной трапеции FGBC. По теореме Пифагора находим катет FN:

.

Найдем теперь длину FM из прямоугольного треугольника AFM, в котором , (из равнобедренной трапеции AFGD) и по теореме Пифагора получаем: