В правильной четырёхугольной пирамиде (стр. 3 )

и угол между плоскостями равен

.

Задание 14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра CC1.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Решение.

а) Построение. Плоскости ABC и будут иметь две общие точки: точка , лежащая на пересечении отрезков BC и и точка A, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок AN, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей ABC и .

б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу , причем отрезок будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники и подобны друг другу с коэффициентом подобия . Отсюда следует, что отрезок . Сторона . Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом (так как угол в силу того, что треугольник ABC равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN – гипотенуза с прилежащим к ней углом :

.

Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка , получаем длину отрезка .

Найдем тангенс угла между плоскостями ABC и из прямоугольного треугольника CDH, получим:

и

.

Задание 14. Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, А1 и D1.

б) Найдите угол между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Решение.

а) Сечением куба будет плоскость, проходящая через точки , т. к. и, следовательно, точка принадлежит искомой плоскости.

б) Углом между двумя плоскостями и будет двугранный угол, измеряемый линейным углом между двумя отрезками и (данные отрезки получаются, если к провести перпендикулярные векторы в плоскостях и ; точка - середина , - точка пересечения диагоналей прямоугольника).

Пусть ребра куба равны 1. Тогда длина отрезка . Длина отрезка , где и, соответственно, . Длина отрезка . Наконец, длина

.

Теперь есть все длины треугольника , из которого по теореме косинусов находим косинус угла между плоскостями:

и угол равен

.

Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что AM = 6.

а) Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость ВСМ.

б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.

Решение.

а) Построим плоскость BCM. Так как плоскость BCM параллельна AD, то она пересекает грань ADS по прямой MN параллельной AD. В результате получаем плоскость, проходящую через точки B, C, M и N (см. рисунок). Опускаем перпендикуляр из точки S на плоскость BCM, который будет располагаться вне пирамиды в точке H (см. рисунок) и лежать на прямой UT.

б) Прямые BM и CN пересекаются в точке U, причем прямая US параллельна AB. Рассмотрим подобные треугольники USM и BAM, для сторон которых справедливо отношение

,

подставляем числовые значения, получаем

.

Точка T – середина BC. Так как и , то плоскость BCM перпендикулярна плоскости UST. То есть SH – это высота треугольника UST. Найдем ее.

Сначала вычислим . Далее, так как SO – высота пирамиды, то . По теореме косинусов в треугольнике UST , при этом , получаем:

.

Найдем высоту SH из площади треугольника UST:

,

причем площадь можно вычислить как произведение половины стороны US на высоты, проведенной из точки T на нее, но эта высота равна SO, следовательно,

,

откуда

.

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 60, а боковое ребро SA равно 37. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость a делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости a.

Решение.

а) Сечение (плоскость ) проходит через точки M и N, причем - средняя линия. Это означает, что отрезок . По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем . Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.