В правильной четырёхугольной пирамиде (стр. 5 )

.

Таким образом, косинус угла между плоскостями равен (здесь взят модуль, так как за угол между плоскостями берется острый угол)

и угол

.

Задание 14. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.

а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

Решение.

а) Построение. Отметим точки A, B, C и D как это показано на рисунке и построим сечение, проходящее через эти точки. При этом должно выполняться и , то есть , где ABCD – прямоугольник, являющийся искомым сечением. В следующем пункте найдем расстояние от точки O до точки N такое, чтобы площадь сечения была равна 72.

б) Так как площадь сечения полагается равной 72, а высота сечения , то длина отрезка DC равна

.

На отрезке DC располагается точка N, которая делит DC пополам, следовательно, длина .

Найдем расстояние от центра цилиндра до плоскости сечения (отрезок ON) из прямоугольного треугольника NOC. В этом прямоугольнике отрезок OC является радиусом цилиндра и равен 13, тогда по теореме Пифагора получаем:

.

Ответ: 5.

Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3, SB = 5, SD = 3√5.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBC.

Решение.

а) SA будет высотой пирамиды, если она будет перпендикулярна (ортогональна) плоскости основания ABCD. Докажем это. Рассмотрим треугольник SAB со сторонами , которые подчиняются равенству

,

следовательно, треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и катетами .

Теперь рассмотрим треугольник SAD, у которого стороны , также подчиняются равенству

,

следовательно, SAD прямоугольный треугольник с гипотенузой SD и катетами .

Учитывая, что и , то , т. е. является высотой.

б) Расстояние от точки A до плоскости SBC – это перпендикуляр из точки A на плоскость SBC. Это расстояние можно интерпретировать как высоту пирамиды с основанием SBC и вершиной A (повернутая пирамида, точку D условно отбрасываем). Высоту пирамиды найдем из формулы объема пирамиды:

.

В то же время объем этой же пирамиды можно найти и так:

.

Таким образом, получаем

.

Ответ: 2,4.

Задание 14. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Решение.

а) Взаимно перпендикулярные образующие дают прямой угол, следовательно, искомое сечение – прямоугольный треугольник ASB с гипотенузой AB и катетами AS и BS (см. рисунок).

б) Расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса O есть отрезок OK (см. рисунок). Сначала найдем длину отрезка AB из прямоугольного треугольника ABS. Отрезки AS=SB=13 и по теореме Пифагора имеем:

.

Теперь найдем длину ON из прямоугольного треугольника AON. Так как треугольник AOB равнобедренный, то высота ON также является медианой, следовательно, катет AN=AB:2, и ON равна:

.

Найдем длину отрезка SN из прямоугольного треугольника ASB. Можно заметить, что SN – это высота, проведенного из прямого угла, а отрезки AN и BN – это радиусы описанной окружности вокруг треугольника. Следовательно, SN – это тоже радиус и (см. рисунок).

Отрезок OK является высотой прямоугольного треугольника SON. Найдем его высоту из формулы площади

,

где - формула площади для прямоугольного треугольника, т. е.

и расстояние OK равно

.

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = AL = 2.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Решение.

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Проекция высоты пирамиды на основание лежит на пересечении медиан равностороннего треугольника, которые делят друг друга в отношении 2:1, то есть (см. рисунок).

По условию известно, что , а стороны основания (треугольника) равны 6 единиц, следовательно, и . Отсюда следует, что и . Но если это так, то точка O является проекцией вершины пирамиды M на основание.

б) Двугранный угол между плоскостью ABC и плоскостью ELD равен линейному углу AOL. Проведем перпендикуляр LN (см. рисунок) и рассмотрим прямоугольный треугольник LNO. Тангенс угла AOL (то же самое что и тангенс угла NOL) равен

.

Найдем стороны LN и NO. Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, из которого по теореме Пифагора находим

,

соответственно,

.

Длина отрезка , так как точка L составляет 1/4 от длины отрезка AM, и следовательно, ее проекция N на отрезок AO составляет 1/4 от точки A, оставшаяся часть составляет 3/4. Получаем:

.

Для нахождения LN рассмотрим прямоугольный треугольник MOA, где

,

так как , получаем

и

,

откуда

.

Задание 14. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые.

а) Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С1

б) Найдите площадь этого сечения.