Пределы и непрерывность (стр. 2 )

2) Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей если точка стремится к , двигаясь по кривой.

Рассмотрим кривую y = f(x) (т. е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент k).

По определению углового коэффициента , где – угол наклона прямой к оси .

Таким образом,  – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке  - геометрический смысл производной функции в точке

Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде

Правила дифференцирования

Пусть функции   и имеют производные в точке , то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) Производная константы равна нулю, т. е , где C – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т. е . .

3) Производная произведения находится по правилу: .

4) Константу можно выносить за знак производной

, где - константа.

5) Производная дроби находится по правилу:.

6) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке, причем . Если существует обратная функция , то она имеет производную в точке и (производная обратной функции).

Таблица производных

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (uμ)' = μ uμ-1 u' (μ принадлежит R1 )

2. (au)' = au lna⋅ u'.

3. (eu)' = eu u'.

4. (loga u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u⋅ u'.

7. (cos u)' = - sin u⋅ u'.

8. (tg u)' = 1/ cos2u⋅ u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin2u.

10. (arcsin u)' = u' /.

11. (arccos u)' = - u' /.

12. (arctg u)' = u'/(1 + u2).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u2).

Пример 1

Найти производную функции y = x2 − 5x.

Решение.

Применяя линейные правила дифференцирования, получаем:

Пример 2

Найти производную функции , где a и b - константы.

Решение.

Пример 3

Найти производную функции 2√x − 3sin x.

Решение.

Используя простейшие правила дифференцирования, получаем:

Пример 4

Найти производную функции y = 3sin x + 2cos x.

Решение.

Данное выражение представляет собой линейную комбинацию двух тригонометрических функций. Производная имеет следующий вид:

Пример 5

Найти производную функции

Решение

Применяя линейные свойства производной, получаем следующий ответ:

Пример 6  Найти производную функции

Решение

Используя приведенные выше формулы дифференцирования, имеем:

Здесь первое слагаемое является степенной функцией с показателем 1/3. Тогда для производной получаем следующее выражение:

Пример 7

Вычислить производную следующей функции

Решение

Чтобы решить данный пример с помощью рассмотренных выше правил дифференцирования, перемножим обе скобки и запишем функцию в таком виде:

Теперь легко найти производную:

Пример 8  Найти производную функции , не используя формулу производной частного.

Решение

Разделив числитель на знаменатель почленно, запишем функцию в виде

Далее, применяя линейные свойства производной, находим:

Производная сложной функции

Если функция  имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , причем (правило дифференцирования сложной функции).

Пример 9. Найти производную сложной функции y=.

Решение.

Представим функцию y= в виде двух функций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu ⋅2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x

Производные высших порядков

Определение: Пусть F’(x) – производная от функции F(x) , тогда производная от функции F’(x) называется второй производной от функции F(x) и обозначается F”(x).

Физический смысл: Если функция у = F(x) описывает закон движения материальной точки по прямой, то первая производная F’(x) – мгновенная скорость точки в момент времени, а вторая производная равна скорости изменения функции, т. е. ускорению движущейся точки в этот момент времени.

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ѓ'"(х)).

Итак, у'"=(y")'