Пределы и непрерывность (стр. 4 )

Таблица основных неопределённых интегралов

Пример 1.

1. Вычислить неопределенный интеграл

Пример 2.

1. Вычислить неопределенный интеграл

Пример 3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого

Пример 4. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя

Пример 5.

Замена переменной в неопределённом интеграле
(интегрирование подстановкой)

Если интеграл  не может быть вычислен непосредственно по основным формулам, то введением новой независимой переменной во многих случаях удается преобразовать подинтегральное выражение f(x)dx. При этом интеграл приводится к табличному  или  к такому, прием вычисления которого уже известен. Замена переменной и составляет существо метода, называемого методом подстановки.

Два правила подстановки:

Независимую переменную заменяют по формуле  x = t(z),  где t(z) – дифференцируемая функция. Тогда dx = t'(z) dz, а интеграл приводят к виду

. После интегрирования получится функция независимой переменной z. Чтобы возвратиться к переменной х, надо определить z через х и подставить это значение вместо z в найденную функцию.

Полагаем z = f(x), тогда  f(x)dx = g(z)dz. Вычисление интеграла сводится к вычислению

. Чтобы возвратиться к переменной х, надо подставить в полученную функцию f(x) вместо  z

Пример 1.

задача сведена к вычислению , где

t = cos(x)

Пример 2.

Пример 4.

ТЕМА 4.  ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Основные свойства и методы вычисления

Пусть на отрезке [a, b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при . Требуется определить площадь фигуры S, ограниченной снизу отрезком [a, b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x). Эта фигура называется криволинейной трапеции ABCD

Свойства определеСвойства определенного интеграла

Если b=a, то  если b<a, то

5. Если функция  y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b] , то для любой точки с внутри отрезка верно равенство

Геометрический смысл определённого интеграла

Если f(x) >0 на отрезке [a, b], то  равен площади криволинейной трапеции

ABCD, ограниченной снизу отрезком [a, b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции ,

то

Пример 1.  применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Пример 2.

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Пример 3.

Вычисление площадей плоских фигур

Пример 1.  Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Рисунок 2

Решение:

– парабола, вершина (m, n).

(0;2) – вершина

-2	0	2
4	2	4

Найдём пределы интегрирования.

Ответ: (кв. ед).

Пример 2.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Выполним чертеж (уравнение задает ось ):

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

Пример 3. Вычислить  площадь фигуры, ограниченной линиями

a) f( x ) = 2 х – х 2 и осью абсцисс

Решение: График функции f(x) = 2x - х2 парабола. Вершина: (1; 1).