Пределы и непрерывность (стр. 1 )

ТЕМА 1. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Предел функции в точке и на бесконечности

Определение предела функции в точке. Число b называется  пределом функции  у=f(x) при x стремящемся к a, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительной число δ=( ), что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ, имеет место неравенство |f(x)-b|<δ.

Обозначение предела. Если b есть предел функции f(x) при x стремящемся к a, то записывают это так:

Предел функции на бесконечности. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < ε. Запись этого факта:

Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа ε < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < ε. Записывается это так:

Геометрический смысл равенства  состоит в следующем: прямая  у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х)  (и  в положительном, и в отрицательном направлении).

Теоремы о пределах

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя

конечен и отличен от нуля

ТЕОРЕМА 4. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

ТЕОРЕМА 5.  Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Вычисление пределов функции, раскрытие неопределенностей

Пример 1. Найти предел

Пример 2. Найти предел

Пример 3. Найти предел

Это преобразование справедливо при всех значениях x, отличных от 2, поэтому в соответствии с определением предела можем написать

1. Пределы с неопределенностью

Правило: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени (т. е.на х2)

Пример 1. Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Как решать пределы данного типа? Необходимо разделить числитель и знаменатель на х2

Пример 2. Вычислить предел

Здесь неопределенность вида . Разделить числитель и знаменатель на

Пример 3.  Вычислить предел

Здесь неопределенность вида . Разделить числитель и знаменатель на общий множитель (х+1).

2. Пределы с неопределенностью вида

Правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Пример 4. Вычислить предел

Решение

Сначала попробуем  подставить -1 в дробь:
 

Получена неопределенность .

Разложить числитель на множители. Ответ -7

Пример 5. Вычислить предел

3. Пределы с неопределенностью вида

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, добавятся корни.

Пример 6. Найти предел 

При подстановки в выражение х =3 получена неопределенность вида , которую нужно устранить. Освобождаемся от корней. Умножаем числитель и знаменатель  на сопряженное выражение    Ответ:  -3/10

ТЕМА 2. ПРОИЗВОДНАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Определение производной функции
Необходимое условие существования производной

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу приращение такое, что точка попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при    (если этот предел существует и конечен), т. е.

Обозначают:

Производной функции в точке справа (слева) называется

(если этот предел существует и конечен).

Обозначают: – производная y=f(x) в точке справа,

– производная y=f(x) в точке  слева.

Теорема: Функция y=f(x) имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем

.

Теорема (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x) в этой точке непрерывна.

Физический и геометрический смысл производной

1) Физический смысл производной

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т. е. сила тока в момент времени .