Пределы и непрерывность (стр. 3 )

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

y(n)=(y(n-1))' .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уV или у(5)— производная пятого порядка).

Нахождение экстремума функции

Первое правило:

1. Продифференцировать данную функцию

2. Найти критические точки, т. е точки, в которых либо =0, либо не существует. В этих точках возможен экстремум.

3. Выяснить знак производной в окрестности каждой критической точки:

если слева от точки производная >0, а справа <0, то функция в этой точке имеет максимум; если слева от точки производная <0, а справа >0, то функция в этой точке 

  имеет минимум

если слева и справа от точки производная имеет один и тот же знак, то функция в этой точке не имеет экстремума

Пример 3:

Исследовать функцию у = х2- 3х на экстремум по первому правилу

Решение:

1.у' = 2х-3

2.Решаем уравнение у' = 0  2х-3=0,  х=1,5

Экстремум возможен только в этой точке, т. к. производная существует во всей области определения функции

3. Находим знак производной слева и справа от этой точки ( х= 1,5)

у' ( 0) = -3 <0  у' ( 2)=1 >0

т. к. слева от х=1,5 производная отрицательна, а  справа положительна, то функция имеет минимум

Общая  схема исследования функции

При полном исследовании функции и построении ее графика

можно придерживаться следующей схемы:

1)  указать область определения функции;

Если каждому элементу по определенному правилу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что задана функция , где называется независимой переменной или аргументом.

Множество называется областью определения функции. Поэтому, чтобы найти , нужно определить множество точек действительной оси, для которых выражение имеет смысл и определяет действительные значения переменной .

2)  исследовать функцию на четность;

Если для любого из области определения выполняется равенство ,

то функция является четной, если же выполняется равенство ,

то функция является нечетной.

В том случае, когда и – функция не является ни четной, ни нечетной.

График четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной – относительно начала координат. Таким образом, график четной функции достаточно построить лишь для , а потом, используя симметрию, достроить его на оставшейся части области определения.

3)  найти точки пересечения графика функции с осями координат;

Точки пересечения графика функции с осью определяются из условия , т. е. . Точка пересечения с осью определяется из условия , значит, .

4)  исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

Найти производную и критические точки, в которых или не существует, и которые лежат внутри области определения функции. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки.

Если при переходе аргумента х через критическую точку :

а) меняет знак с “+”  на “-”, то есть точка максимума;

б) меняет знак с “-”  на “+”, то есть точка минимума;

в) не меняет знака, то в точке нет экстремума.

В промежутках где функция возрастает, где функция убывает.

Полученные результаты для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:

1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки;

2. Во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах;

3. В третьей строке описывается поведение функции на каждом интервале (↑ – функция возрастает, ↓– функция убывает).

5)  произвести необходимые дополнительные исследования;

Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках.

По составленным таблицам нетрудно построить график функции. Для этого нужно данные таблиц перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе.

6)  построить график функции.

ТЕМА 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Неопределенный интеграл и его свойства

Функция F(x) называется первообразной функции f (х) на  интервале (а; b), если  выполняется равенство

Из этого определения следует, что для нахождения первообразной необходимо по заданной функции f(x ) найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Пример:

Найти первообразную функцию для функции  f(x) =cos x

Решение:  Первообразной функции f(x) =cos x является функция F(x) = sin x, так как

F’(x) = (sin x)’ = cos x = f(x)

Первообразными будут также любые функции F(x) = sin x + C, где

С – постоянная величина, так как

F’(x)=(sin x +C)’ = cos x = f(x)

Множество  всех первообразных функций  F(x) + C  для функции  f(х) называется  неопределённым интегралом от функции  f(х) и обозначается символом
, где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением, х – переменная  интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла  от функции называется интегрированием этой функции

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой  множество интегральных кривых  y=F(x) + C, каждому числовому значению С соответствует  определенная кривая. График каждой кривой называется  интегральной кривой.

Cвойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции  равен сумме этой функции  и произвольной постоянной

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций