Название предмета Алгебра
Класс 9
УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» ,2008
Уровень обучения: базовый
У р о к 103 (10).
Сочетание из п элементов по k (k ≤ п)
Цели: ввести понятие сочетания из п элементов по k (k ≤ п); вывести формулу нахождения числа сочетаний из п элементов по k; формировать умения решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. З а д а ч а. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.
а) Сколько команд участвовали в турнире?
б) Сколько команд играли в зеленых футболках?
в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?
г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?
2. Найти значение выражения:
а) Р4 + Р3; б) Р6 – Р5; в)
; г)
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
III. Объяснение нового материала.
Для объяснения новой темы можно использовать презентацию «Урок 100 (7)».
1. Объяснение нового материала целесообразно начать с решения практической задачи:
«Сколькими способами можно смешать по три краски из имеющихся пяти?».
Р е ш е н и е
Обозначим имеющиеся краски буквами латинского алфавита a, b, c, d, e. Выпишем возможные варианты смешивания красок, учитывая, что от порядка расположения красок результат не зависит:
abc, abd, abe, ace, ade
bcd, bce, bde
cde
Мы указали различные способы смешивания красок, в которых по-разному сочетаются три краски из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3.
2. Определение. Сочетанием из п элементов по k называют любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных п элементов.
П о д ч е р к и в а е м, что, в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из п элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
3. Обозначение. 
(читается «С из п по k»).
В рассмотренном примере мы нашли, что 
= 10.
4. Вывод формулы числа сочетаний из п по k, где k ≤ п.
В отличие от предыдущих тем, при доказательстве мы опираемся не напрямую на комбинаторное правило умножения, а на ранее выведенные формулы числа перестановок и размещений.
Сперва замечаем, что 
(по комбинаторному правилу умножения), значит, 
.
И затем проводим аналогичные рассуждения для общего случая: 
Учитывая, что 
, где п ≤ k, получаем, что
| – формула вычисления числа сочетаний из п по k, где k ≤ п. |
5. Рассматриваем примеры задач на нахождение числа сочетаний из учебника на с. 184–185.
IV. Формирование умений и навыков.
Рассматриваем задачи на применение формулы нахождения числа сочетаний из п по k. Для предотвращения формального применения формулы требуем обоснования ее выбора.
Упражнения:
№ 000.
Р е ш е н и е
Выбираем 2 учащихся из 7, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 7 по 2:
.
О т в е т: 21 способ.
№ 000.
Р е ш е н и е
Выбор 6 из 10 без учета порядка:
.
О т в е т: 210 способов.
№ 000.
Р е ш е н и е
Из 11 человек 5 должны поехать в командировку:
а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся:
б) Заведующий остается, нужно выбрать 5 из 10 сотрудников:
О т в е т: а) 210 способов; б) 252 способа.
Следующие три задачи – повышенной сложности.
№ 000.
Р е ш е н и е
а) Словарь выбирается, нужно выбрать еще 2 книги из 11:
.
б) Словарь не выбирается, выбираем 3 книги из 11:
.
О т в е т: а) 55 способов; б) 165 способов.
№ 000.
Эту задачу следует разобрать у доски. При решении используется не только формула числа сочетаний, но и комбинаторное правило умножения.
Р е ш е н и е
Сперва выбираем 4 маляров из 12:
способов.
Затем выбираем 2 плотников из 5:
способов.
Каждый из способов выбора маляров можно скомбинировать с каждым выбором плотников, следовательно, всего способов (по комбинаторному правилу умножения): 495 · 10 = 4950.
О т в е т: 4950 способов.
№ 000.
Р е ш е н и е
Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 (
способов) и 2 журнала из 4 (
способов) – порядок выбора значения не имеет. Каждый выбор книг может сочетаться с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу произведения равно:
О т в е т: 720 способов.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется сочетанием из п элементов по k?
– Запишите формулу вычисления числа сочетаний из п элементов по k.
– В чем отличие сочетания из п элементов по k от размещения из п элементов по k.
Домашнее задание: № 000, № 000, № 000.
З а д а ч а. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
