Решения и критерии оценивания заданий варианта 3 (стр. 4 )

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

По усло­вию по­это­му нам под­хо­дит зна­че­ние

Под­ста­вив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты в любое из урав­не­ний, на­при­мер, в пер­вое:

Те­перь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

Ответ: (2; 0).

Задание 24

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Получен вер­ный обос­но­ван­ный ответ	2
При вер­ных рас­суж­де­ни­ях до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошибка, воз­мож­но при­вед­шая к не­вер­но­му ответу	1
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	2

Най­ди­те угол АСО, если его сто­ро­на СА ка­са­ет­ся окруж­но­сти, О — центр окруж­но­сти, а дуга AD окруж­но­сти, за­ключённая внут­ри этого угла, равна 100°

Решение.

Про­ведём ра­ди­ус в точку ка­са­ния. Так как — ра­ди­ус, а — ка­са­тель­ная, то Угол — цен­траль­ный, сле­до­ва­тель­но он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, Угол — развёрну­тый, сле­до­ва­тель­но

Из тре­уголь­ни­ка

Ответ: 10°.

Задание 25

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы.	3
Доказательство в целом верное, но со­дер­жит неточности.	2
1
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям.	0
Максимальный балл	3

Внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEB и CED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма.

Решение.

Про­ведём через точку E пря­мые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма, пе­ре­се­ка­ю­щие его сто­ро­ны AB, BC, CD и AD в точ­ках K, L, M и N со­от­вет­ствен­но. Эти пря­мые делят па­рал­ле­ло­грамм ABCD на че­ты­ре па­рал­ле­ло­грам­ма. По­сколь­ку диа­го­наль делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем

Задание 26

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Ход ре­ше­ния верный, все его шаги вы­пол­не­ны правильно, по­лу­чен вер­ный ответ	4
Ход ре­ше­ния верный, все его шаги вы­пол­не­ны правильно, но даны не­пол­ные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на одна вы­чис­ли­тель­ная ошибка	3
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	4

Три окруж­но­сти с цен­тра­ми O1, O2 и O3 ра­ди­у­са­ми 1, 2 и 6 со­от­вет­ствен­но по­пар­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те угол O1O2O3.

Решение.

Из усло­вия ка­са­ния окруж­но­стей на­хо­дим сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

от­ку­да Тогда угол

Ответ: 60°.