Решения и критерии к 1 варианту (стр. 4 )

Решение.

Пусть S км — рас­сто­я­ние, на ко­то­рое от­плыл ры­бо­лов. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 2 км/ч, а ско­рость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое он про­плы­л туда и об­рат­но, со­став­ля­ет Учи­ты­вая, что он был на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лся через 5 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить урав­не­ние:

От­сю­да S = 8 км.

Ответ: 8 км.

Задание 23

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
График по­стро­ен верно, верно най­де­ны ис­ко­мые зна­че­ния пара - метра.	4
График по­стро­ен верно, но ис­ко­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра найдены неверно или не найдены.	3
2
1
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям.	0
Максимальный балл	4

По­строй­те гра­фик функ­ции

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Решение.

По­стро­им гра­фик функ­ции при и гра­фик функ­ции при

Пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки при и

Ответ: −3; −2.

Модуль «Геометрия»

Задание 24

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Ход ре­ше­ния верный, все его шаги вы­пол­не­ны правильно, получен верный ответ	2
Ход ре­ше­ния верный, все его шаги вы­пол­не­ны правильно, но даны неполные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на одна вы­чис­ли­тель­ная ошибка	1
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	2

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 9 и 15. Най­ди­те от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции.

Решение.

Пусть в тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния BC = 9 , AD =15 . Обо­зна­чим се­ре­ди­ну диа­го­на­ли AC через N, се­ре­ди­ну диа­го­на­ли BD через M, а се­ре­ди­ну сто­ро­ны CD через K.

Тогда NK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACD, MK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCD. Зна­чит, точки N, M и K лежат на одной пря­мой, и

NM = NK−MK=3.

Ответ: 3.

Задание 25

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы	3
Доказательство в целом верное, но со­дер­жит неточности	2
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	3

До­ка­жи­те, что ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два тре­уголь­ни­ка, пло­ща­ди ко­то­рых равны между собой.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту Пло­щадь тре­уголь­ни­ка , пло­щадь тре­уголь­ни­ка От­рез­ки и равны, сле­до­ва­тель­но,

Задание 26

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Ход ре­ше­ния верный, все его шаги вы­пол­не­ны правильно, по­лу­чен вер­ный ответ	4
Ход ре­ше­ния верный, все его шаги вы­пол­не­ны правильно, но даны не­пол­ные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на одна вы­чис­ли­тель­ная ошибка	3
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	4

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 25 и 100 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Точки A и B лежат на пер­вой окруж­но­сти, точки C и D — на вто­рой. При этом AC и BD — общие ка­са­тель­ные окруж­но­стей. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ведём пря­мую па­рал­лель­ную Пря­мая — ка­са­тель­ная к обеим окруж­но­стям по­это­му ра­ди­у­сы и пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой от­ку­да за­клю­ча­ем, что от­ку­да Рас­смот­рим четырёхуголь­ник сле­до­ва­тель­но, — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Зна­чит, Также за­ме­тим, что Углы и равны, как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых. Из тре­уголь­ни­ка

Из тре­уголь­ни­ка Из тре­уголь­ни­ка Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние:

Ответ: 80.