Дифференциальное исчисление
Основные понятия и формулы
Определение 1. Производной функции 
в точке 
называется предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента 
, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: 
.
Механический смысл производной. Скорость есть первая производная пути по времени, т. е. 
.
Геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной к графику функции 
равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т. е. 
Уравнение касательной к графику функции 
в точке 
:
Уравнение нормали к графику функции 
в точке 
:
Таблица производных
Правила дифференцирования | 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. |
Определение 2. Дифференциалом функции y=y(x) называется линейная относительно 
часть приращения функции. Дифференциал функции находится как произведение производной функции на дифференциал независимой переменной:
.
Дифференцирование сложной функции
Пусть y= y(u) ,где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем 
, или 
Производные высших порядков
Определение 3. Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: 
.
Определение 4. Производная n-ого порядка(n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: 
.
Пример 9: Найти производную функции 
Решение:
+ 
Пример 10: Найти производную функции 
Решение:
Применим правило дифференцирования 
Пример 11: Найти производную функции 
Решение:
Применим правило дифференцирования 
Пример 12: Найти дифференциал функции 
Решение: По определению дифференциал 
Так как 
, то 
.
Ответ: Дифференциал функции равен 
Пример 13: Найти производную сложной функции 
Решение:
=
Пример 14: Найти производную функции сложной функции 
Решение:
=
+ 
Пример 15: Найти производную второго порядка для функции
.
Решение:
Ответ:
Пример 16: Найти производную второго порядка функции 
в точке 
.
Решение:
Найдем 
при 
Ответ: 
Исследование функций с помощью производной
Определение 1. Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство:
.
Определение 2. Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство:
.
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Правило нахождения экстремумов функции 
с помощью первой производной
a. Найти производную функции 
.
b. Найти критические точки по первой производной, т. е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
c. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции 
. Если на промежутке 
, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке 
, то на этом промежутке функция возрастает.
d. Если в окрестности критической точки 
меняет знак
с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
e. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.
С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.
Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
Определение 3: Кривая 
называется выпуклой вниз на промежутке 
, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка (рис.1). 
Определение 4: Кривая 
называется выпуклой вверх на промежутке 
, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка (рис.2).
Рис.1 Рис. 2
Определение 5. Точка графика функции 
, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба (рис.3). 
Рис. 3
Правило нахождения точек перегиба графика функции 
a. Найти вторую производную 
.
b. Найти точки, в которых вторая производная
обращается в нуль или терпит разрыв.
c. Исследовать знак второй производной 
на каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции
. Если при этом критическая точка 
разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то 
является абсциссой точки перегиба графика функции.
d. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Общая схема для построения графиков функций
Пример 17: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: 
.
Решение: Найдем первую производную функции 
.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
|
| 0 |
| 2 |
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
| т. max 0 |
| т. min -4 |
|
Ответ: Функция возрастает при 
; функция убывает при 
; точка минимума функции 
; точка максимума функции 
.
Пример 18: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции 
.
Решение: Находим 
, 
.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение
|
| 2 |
|
| + | 0 | - |
|
| точка перегиба 16 |
|
Ответ: Функция выпукла вверх при 
; функция выпукла вниз при 
; точка перегиба 
.
Пример 19: Провести полное исследование функции 
и построить ее график
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения 
.
2) Выясним, является ли функция четной или нечетной: 
.
Отсюда следует, что функция является нечетной, т. е. график симметричен относительно начала координат.
3) Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью ОХ: решим уравнение 
. 
Точки пересечения с осью ОХ 
- с осью ОY: 
Точка пересечения с осью ОY 
4) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: 
.
Критические точки: 
.
|
| -1 |
| 1 |
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
| т. max 2 |
| т. min -2 |
|
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: 
Критические точки: 
.
|
| 0 |
|
| - | 0 | + |
|
| точка перегиба 0 |
|
7) По результатам исследования построим график функции (рис. 4): 
